गणित में, अनुक्रम बढ़ते या घटते क्रम में व्यवस्थित संख्याओं की कोई भी स्ट्रिंग है। एक अनुक्रम एक ज्यामितीय अनुक्रम बन जाता है जब आप पिछली संख्या को एक सामान्य कारक से गुणा करके प्रत्येक संख्या प्राप्त करने में सक्षम होते हैं। उदाहरण के लिए, श्रृंखला 1, 2, 4, 8, 16।.. सामान्य कारक 2 के साथ एक ज्यामितीय अनुक्रम है। यदि आप श्रृंखला में किसी संख्या को 2 से गुणा करते हैं, तो आपको अगली संख्या प्राप्त होगी। इसके विपरीत, क्रम 2, 3, 5, 8, 14, 22... ज्यामितीय नहीं है क्योंकि संख्याओं के बीच कोई सामान्य कारक नहीं है। एक ज्यामितीय अनुक्रम में भिन्नात्मक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो सकते हैं, इस स्थिति में प्रत्येक क्रमागत संख्या उसके पूर्ववर्ती संख्या से छोटी होती है। 1, 1/2, 1/4, 1/8... एक उदाहरण है। इसका उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 1/2 है।
तथ्य यह है कि एक ज्यामितीय अनुक्रम में एक सामान्य कारक होता है जो आपको दो चीजें करने की अनुमति देता है। पहला क्रम में किसी भी यादृच्छिक तत्व की गणना करना है (जिसे गणितज्ञ "नहींth" तत्व), और दूसरा है of तक के ज्यामितीय अनुक्रम का योग ज्ञात करनानहींवें तत्व। जब आप शब्दों के प्रत्येक जोड़े के बीच धन का चिह्न लगाकर अनुक्रम का योग करते हैं, तो आप अनुक्रम को एक ज्यामितीय श्रृंखला में बदल देते हैं।
एक ज्यामितीय श्रृंखला में nवां तत्व ढूँढना
सामान्य तौर पर, आप निम्न प्रकार से किसी भी ज्यामितीय श्रृंखला का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं:
ए + एआर + एआर^2 + एआर^3 + एआर^4 +।. .
कहां है "ए"श्रृंखला का पहला पद है और"आर"सामान्य कारक है। इसे जांचने के लिए, उस श्रृंखला पर विचार करें जिसमेंए= 1 औरआर= 2. आपको 1 + 2 + 4 + 8 + 16 मिलता है।.. यह काम करता है!
इसे स्थापित करने के बाद, अब अनुक्रम में nवें पद के लिए एक सूत्र प्राप्त करना संभव है (एक्सनहीं).
x_n = ar^{(n-1)}
घातांक हैनहीं- 1 के बजायनहींअनुक्रम में पहले शब्द के रूप में लिखा जाने की अनुमति देने के लिएएआर0, जो बराबर है"ए."
उदाहरण श्रृंखला में चौथे पद की गणना करके इसकी जाँच करें।
x_4 = (1) × 2^3 = 8
एक ज्यामितीय अनुक्रम के योग की गणना
यदि आप एक भिन्न अनुक्रम का योग करना चाहते हैं, जो 1 से अधिक या -1 से कम सामान्य राशन वाला एक है, तो आप केवल सीमित संख्या में ही ऐसा कर सकते हैं। हालांकि, एक अनंत अभिसरण अनुक्रम के योग की गणना करना संभव है, जो 1 और -1 के बीच एक सामान्य अनुपात वाला एक है।
ज्यामितीय योग सूत्र विकसित करने के लिए, आप जो कर रहे हैं उस पर विचार करके प्रारंभ करें। आप जोड़ की निम्नलिखित श्रृंखला के कुल की तलाश कर रहे हैं:
ए + एआर + एआर^2 + एआर^3 +।.. + एआर ^ {(एन -1)}
श्रृंखला में प्रत्येक पद हैएआरक, तथाक0 से तक जाता हैनहीं− 1. श्रृंखला के योग का सूत्र पूंजी सिग्मा चिह्न का उपयोग करता है - - जिसका अर्थ है ( से सभी शब्दों को जोड़ना)क= 0) से (क = नहीं − 1).
\sum_k^{n-1} ar^k = a\bigg(\frac{1 - r^n}{1 - r}\bigg)
इसे जांचने के लिए, ज्यामितीय श्रृंखला के पहले 4 पदों के योग पर विचार करें जो 1 से शुरू होता है और 2 का एक सामान्य कारक है। उपरोक्त सूत्र में,ए = 1, आर= 2 औरनहीं= 4. इन मूल्यों में प्लगिंग, आपको मिलता है:
1 \bigg(\frac{1 - 2^4}{1 - 2}\bigg) = 15
श्रृंखला में संख्याओं को स्वयं जोड़कर सत्यापित करना आसान है। वास्तव में, जब आपको एक ज्यामितीय श्रृंखला के योग की आवश्यकता होती है, तो आमतौर पर केवल कुछ शब्द होने पर संख्याओं को स्वयं जोड़ना आसान होता है। यदि श्रृंखला में बड़ी संख्या में पद हैं, हालांकि, ज्यामितीय योग सूत्र का उपयोग करना कहीं अधिक आसान है।