कभी-कभी एक गैर-शून्य वेक्टर खोजना आवश्यक होता है, जब एक वर्ग मैट्रिक्स से गुणा किया जाता है, तो हमें वेक्टर का एक गुणक वापस मिल जाएगा। इस गैर-शून्य वेक्टर को "eigenvector" कहा जाता है। Eigenvectors न केवल गणितज्ञों के लिए, बल्कि भौतिकी और इंजीनियरिंग जैसे व्यवसायों में भी रुचि रखते हैं। उनकी गणना करने के लिए, आपको मैट्रिक्स बीजगणित और निर्धारकों को समझना होगा।
"eigenvector" की परिभाषा को जानें और समझें। यह एक n x n वर्ग मैट्रिक्स A और a. के लिए भी पाया जाता है अदिश eigenvalue जिसे "लैम्ब्डा" कहा जाता है। लैम्ब्डा को ग्रीक अक्षर द्वारा दर्शाया गया है, लेकिन यहां हम इसे संक्षिप्त करेंगे एल यदि कोई शून्येतर सदिश x है जहां Ax = Lx है, तो इस सदिश x को "A का eigenvalue" कहा जाता है।
अभिलक्षणिक समीकरण det (A -- LI) = 0 का उपयोग करके मैट्रिक्स के eigenvalues खोजें। "डेट" का अर्थ निर्धारक है, और "I" पहचान मैट्रिक्स है।
एक eigenspace E(L) ढूंढकर प्रत्येक eigenvalue के लिए eigenvector की गणना करें, जो कि विशेषता समीकरण का शून्य स्थान है। E(L) के शून्येतर सदिश A के eigenvectors हैं। ये eigenvectors को विशेषता मैट्रिक्स में वापस प्लग करके और A - LI = 0 के लिए एक आधार ढूंढकर पाए जाते हैं।
अभिलक्षणिक समीकरण का उपयोग करके eigenvalues की गणना करें। Det (A -- LI) है (3 -- L)(3 -- L) 1 = L^2 -- 6L + 8 = 0, जो कि अभिलक्षणिक बहुपद है। इसे बीजगणितीय रूप से हल करने पर हमें L1 = 4 और L2 = 2 प्राप्त होता है, जो हमारे मैट्रिक्स के आइजनवैल्यू हैं।
शून्य स्थान की गणना करके एल = 4 के लिए आइजेनवेक्टर खोजें। L1 = 4 को अभिलक्षणिक मैट्रिक्स में रखकर और A - 4I = 0 का आधार ज्ञात करके ऐसा करें। इसे हल करने पर, हम x -- y = 0, या x = y पाते हैं। इसका केवल एक स्वतंत्र हल है क्योंकि वे बराबर हैं, जैसे x = y = 1। इसलिए, v1 = (1,1) एक eigenvector है जो L1 = 4 के eigenspace को फैलाता है।
L2 = 2 के लिए आइजेनवेक्टर ज्ञात करने के लिए चरण 6 को दोहराएँ। हम x + y = 0, या x = --y पाते हैं। इसका एक स्वतंत्र हल भी है, मान लीजिए x = -1 और y = 1। इसलिए v2 = (--1,1) एक eigenvector है जो L2 = 2 के eigenspace को फैलाता है।