प्रायिकता का नियम

प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना को मापती है। गणितीय रूप से व्यक्त, संभाव्यता एक निर्दिष्ट घटना के घटित होने के तरीकों की संख्या के बराबर होती है, जो सभी संभावित घटनाओं की कुल संख्या से विभाजित होती है। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास एक बैग है जिसमें तीन मार्बल हैं - एक नीला मार्बल और दो हरे कंचे - एक नीले मार्बल की अनदेखी दृष्टि को हथियाने की संभावना 1/3 है। एक संभावित परिणाम है जहां नीले संगमरमर का चयन किया जाता है, लेकिन कुल तीन संभावित परीक्षण परिणाम - नीला, हरा और हरा। उसी गणित का प्रयोग करते हुए हरे रंग के मार्बल को पकड़ने की प्रायिकता 2/3 है।

आप प्रयोग के माध्यम से किसी घटना की अज्ञात संभावना का पता लगा सकते हैं। पिछले उदाहरण का उपयोग करते हुए, मान लीजिए कि आप एक निश्चित रंगीन संगमरमर को खींचने की संभावना नहीं जानते हैं, लेकिन आप जानते हैं कि बैग में तीन कंचे हैं। आप एक परीक्षण करते हैं और एक हरे रंग का संगमरमर बनाते हैं। आप एक और परीक्षण करते हैं और एक और हरा संगमरमर बनाते हैं। इस बिंदु पर आप दावा कर सकते हैं कि बैग में केवल हरे रंग के कंचे हैं, लेकिन दो परीक्षणों के आधार पर, आपकी भविष्यवाणी विश्वसनीय नहीं है। यह संभव है कि बैग में केवल हरे रंग के पत्थर हों या अन्य दो लाल हों और आपने क्रमिक रूप से केवल हरे संगमरमर का चयन किया हो। यदि आप एक ही परीक्षण को 100 बार करते हैं तो आप शायद पाएंगे कि आप लगभग 66% प्रतिशत हरे संगमरमर का चयन करते हैं। यह आवृत्ति आपके पहले प्रयोग की तुलना में सही संभावना को अधिक सटीक रूप से दर्शाती है। यह बड़ी संख्या का नियम है: परीक्षणों की संख्या जितनी अधिक होगी, किसी घटना के परिणाम की आवृत्ति उतनी ही सटीक रूप से इसकी वास्तविक संभावना को दर्शाएगी।

प्रायिकता केवल 0 से 1 के मान के बीच हो सकती है। 0 की प्रायिकता का अर्थ है कि उस घटना के लिए कोई संभावित परिणाम नहीं हैं। हमारे पिछले उदाहरण में, लाल मार्बल निकालने की प्रायिकता शून्य है। 1 की प्रायिकता का अर्थ है कि घटना प्रत्येक परीक्षण में घटित होगी। हरे मार्बल या नीले मार्बल को खींचने की प्रायिकता 1 है। कोई अन्य संभावित परिणाम नहीं हैं। एक नीले और दो हरे मार्बल वाले बैग में, हरे रंग का मार्बल निकालने की प्रायिकता 2/3 है। यह एक स्वीकार्य संख्या है क्योंकि 2/3 0 से अधिक है, लेकिन 1 से कम है - स्वीकार्य संभाव्यता मूल्यों की सीमा के भीतर। यह जानने के बाद, आप घटाव के नियम को लागू कर सकते हैं, जिसमें कहा गया है कि यदि आप किसी घटना की संभावना को जानते हैं, तो आप उस घटना के न होने की संभावना को सटीक रूप से बता सकते हैं। हरे मार्बल को खींचने की प्रायिकता 2/3 जानने के बाद, आप उस मान को 1 से घटा सकते हैं और हरे रंग के मार्बल को नहीं खींचने की प्रायिकता को सही ढंग से निर्धारित कर सकते हैं: 1/3

यदि आप अनुक्रमिक परीक्षणों में दो घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात करना चाहते हैं, तो गुणन के नियम का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, पिछले तीन मार्बल वाले बैग के बजाय, मान लें कि पांच मार्बल वाला बैग है। इसमें एक नीला मार्बल, दो हरे कंचे और दो पीले कंचे हैं। यदि आप नीले मार्बल और हरे मार्बल को किसी भी क्रम में खींचने की प्रायिकता ज्ञात करना चाहते हैं (और बिना वापस लौटे) बैग में पहला मार्बल), एक नीला मार्बल निकालने की प्रायिकता और एक हरे रंग का मार्बल निकालने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए संगमरमर। पांच कंचों के थैले में से एक नीला मार्बल निकालने की प्रायिकता 1/5 है। शेष सेट से हरे रंग का मार्बल निकालने की प्रायिकता 2/4 या 1/2 है। गुणन के नियम को सही ढंग से लागू करने में 1/10 की प्रायिकता के लिए दो प्रायिकताओं, 1/5 और 1/2 को गुणा करना शामिल है। यह दो घटनाओं के एक साथ होने की संभावना को व्यक्त करता है।

गुणन के नियम के बारे में आप जो जानते हैं उसे लागू करते हुए, आप दो घटनाओं में से केवल एक के घटित होने की प्रायिकता निर्धारित कर सकते हैं। योग का नियम बताता है कि दो में से एक घटना के घटित होने की प्रायिकता के योग के बराबर होती है प्रत्येक घटना के अलग-अलग घटित होने की प्रायिकता, घटा दोनों घटनाओं की प्रायिकता हो रहा है। पाँच मार्बल वाले बैग में, मान लीजिए कि आप नीले या हरे रंग के मार्बल को खींचने की प्रायिकता जानना चाहते हैं। एक नीला मार्बल निकालने की प्रायिकता (1/5) को हरे मार्बल (2/5) को निकालने की प्रायिकता में जोड़ें। योग 3/5 है। पिछले उदाहरण में गुणन के नियम को व्यक्त करते हुए, हमने पाया कि नीले और हरे दोनों मार्बल को खींचने की प्रायिकता 1/10 है। 1/2 की अंतिम संभावना के लिए इसे 3/5 (या आसान घटाव के लिए 6/10) के योग से घटाएं।