गणित में अनुपात और समानुपात की गणना कैसे करें

इसकी अवधारणा अनुपात आप शायद परिचित हैं, लेकिन हो सकता है कि आप इसके लिए एक सख्त गणितीय परिभाषा लिखने में सक्षम न हों। उदाहरण के लिए, आप पहचान सकते हैं कि 10 वर्षीय एक सामान्य आकार के वयस्क से उसी "तरीके" से छोटा होता है वही वयस्क एक पेशेवर बास्केटबॉल खिलाड़ी से छोटा है, भले ही तीन आकार हैं विभिन्न।

इसी तरह, आप शायद a. की धारणा के लिए अजनबी नहीं हैं अनुपात. उदाहरण के लिए, यदि आप किसी खेल प्रतियोगिता में हैं और जानते हैं कि विरोधी प्रशंसकों और मित्रवत प्रशंसकों का अनुपात अधिक है, तो आप हो सकता है कि जब आपका पसंदीदा क्लब आपके लक्ष्य से कम स्कोर करता हो, तो यह कम प्रदर्शनकारी हो सकता है यदि यह अनुपात होता उलट।

गणित और सांख्यिकी में, अनुपात, प्रतिशत और अनुपात के प्रश्न लाजिमी हैं। सौभाग्य से, अंतर्निहित अवधारणाओं का एक संक्षिप्त विवरण और कुछ उदाहरण आपको आनुपातिक रूप से बेहतर गणित के छात्र बनाने के लिए पर्याप्त होने चाहिए।

ए अनुपात मूल रूप से एक भिन्न है, या भागफल के रूप में व्यक्त की गई दो संख्याएँ, जैसे कि 3/4 या 179/2,385। लेकिन यह एक विशेष प्रकार की भिन्न है, जिसका उपयोग संबंधित मात्राओं की तुलना करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि एक कमरे में 11 लड़के और 13 लड़कियां हैं, तो लड़कों से लड़कियों का अनुपात 11 से 13 है, जिसे 11/13 या 11:13 लिखा जा सकता है।

अनुपात "कारण" के लिए लैटिन शब्द है। ए की परिभाषा परिमेय संख्या वह है जिसे भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है; कुछ संख्याएँ, जैसे ज्यामिति में का मान, अपरिमेय होती हैं और इस तरह से व्यक्त नहीं की जा सकतीं, इसके बजाय उन्हें कभी न खत्म होने वाली दशमलव संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है। शायद प्राचीन काल के गणितज्ञों ने इस स्थिति को "अनुचित" पाया।

ए अनुपात भिन्नों में अलग-अलग निरपेक्ष संख्याओं का उपयोग करते हुए, दो अनुपातों को एक दूसरे के बराबर सेट करने वाला एक व्यंजक मात्र है। अनुपात ऐसे लिखे जाते हैं जैसे अनुपात हैं, उदाहरण के लिए, a/b = c/d या a: b = c: d।

सबसे सरल अनुपात समस्याओं को हल करने के लिए आपको फैंसी अनुपात कैलकुलेटर फ़ंक्शन की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आप 30 दिन के महीने में 17 बार जिम जाते हैं। इस महीने में जिम के दिनों का गैर-जिम दिनों से आपका अनुपात क्या है?

जवाब है नहीं (जिम के दिन/कुल दिन), इसलिए यह सोचकर बहकें नहीं कि उत्तर १७:३० है। इसके बजाय, गैर-जिम दिनों को प्राप्त करने के लिए जिम के दिनों को कुल दिनों से घटाएं, जो आपके अनुपात का आवश्यक दूसरा भाग है। इसलिए उत्तर १७:१३ (या १७/१३) है।

कभी-कभी, बिना कोई गणना किए यह स्पष्ट हो जाता है कि दो अनुपात एक दूसरे के समानुपाती होते हैं। यदि आप और आपका कुत्ता एक कमरे में केवल दो जानवर हैं, और आपको बताया जाता है कि बगल का व्यायामशाला इसमें 457 लोग और 457 कुत्ते हैं, तो आप जानते हैं कि कुत्तों से लोगों का अनुपात दोनों में समान है रिक्त स्थान।

लेकिन उन अनुपातों का क्या जिनकी एक नज़र में आसानी से तुलना नहीं की जा सकती? उदाहरण के लिए, 17/52 3/9 के समानुपाती है? यदि नहीं, तो कौन सा बड़ा है?
ऐसा करने का एक तरीका यह होगा कि प्रत्येक भिन्न की दशमलव संख्याओं की गणना करें और देखें कि कौन सा बड़ा है। लेकिन अगर आप अनुपात को समझते हैं, तो आप इसके बजाय क्रॉस-गुणा का उपयोग कर सकते हैं, विपरीत हर और अंश को गुणा कर सकते हैं:

(17/52) =?= (3/9)
(17)(9) = 153; (3)(52) = 156
इस प्रकार अनुपात बिल्कुल समान नहीं हैं (3/9 थोड़ा अधिक है), और भिन्न आनुपातिक नहीं हैं।

आनुपातिकता स्थिरांक आनुपातिक अनुपातों के बीच निरंतर अंतर का प्रतिनिधित्व करता है। यदि a, b के समानुपाती है, तो व्यंजक में ए = केबी, k आनुपातिकता का स्थिरांक है। दो चर a और b को कहा जाता है विपरीत समानुपाती जब उनका गुणनफल ab सभी a और b के लिए एक स्थिरांक होता है, अर्थात जब a = C/b और b = C/a होता है।

उदाहरण: तीरंदाजी प्रशंसकों की संख्या किसी कॉफी शॉप में बेसबॉल प्रशंसकों की संख्या के समानुपाती होती है। सबसे पहले, 6 तीरंदाजी प्रशंसक और 9 बेसबॉल प्रशंसक हैं। यदि बेसबॉल प्रशंसकों की संख्या बढ़कर 24 हो जाती है, तो तीरंदाजी के कितने प्रशंसक होने चाहिए?
k के लिए हल कीजिए, जहाँ a = kb, a = 6 और b = 9:
के = 6/9 = 2/3 = 0.667
अब, अधिक भीड़-भाड़ वाले कैफे में 16 तीरंदाजी प्रशंसकों को प्राप्त करने के लिए समीकरण a = (0.667)(24) को हल करें।