त्रिकोणमिति काफी अमूर्त विषय की तरह महसूस कर सकती है। "पाप" और "कॉस" जैसे रहस्यमय शब्द वास्तविकता में किसी भी चीज़ से मेल नहीं खाते हैं, और अवधारणाओं के रूप में उन्हें समझना मुश्किल है। जब आप किसी कोण की ज्या, कोज्या या स्पर्शरेखा लेते हैं, तो आपको जो संख्याएँ मिलती हैं, उनकी सीधी व्याख्या करते हुए, इकाई चक्र इसमें काफी मदद करता है। विज्ञान या गणित के किसी भी छात्र के लिए, यूनिट सर्कल को समझना वास्तव में त्रिकोणमिति की आपकी समझ और कार्यों का उपयोग करने के तरीके को मजबूत कर सकता है।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
एक इकाई वृत्त की त्रिज्या एक होती है। कल्पना कीजिएxyइस सर्कल के केंद्र से शुरू होने वाली समन्वय प्रणाली। बिंदु कोणों को कहाँ से मापा जाता है?एक्स= 1 औरआप= 0, वृत्त के दायीं ओर। जैसे-जैसे आप वामावर्त चलते हैं, कोण बढ़ते जाते हैं।
इस ढांचे का उपयोग करना, औरआपके लिएआप-समन्वय औरएक्सके लिएएक्स-वृत्त पर बिंदु का निर्देशांक:
पापθ = आप
क्योंकिθ = एक्स
और इसके परिणामस्वरूप:
टैनθ = आप / एक्स
यूनिट सर्कल क्या है?
एक "इकाई" वृत्त की त्रिज्या 1 होती है। दूसरे शब्दों में, वृत्त के केंद्र से किनारे के किसी भी भाग की दूरी हमेशा 1 होती है। माप की इकाई वास्तव में मायने नहीं रखती है, क्योंकि यूनिट सर्कल के बारे में सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह कई समीकरणों और गणनाओं को बहुत आसान बनाता है।
यह कोणों की परिभाषाओं को देखने के लिए एक उपयोगी आधार के रूप में भी कार्य करता है। कल्पना कीजिए कि वृत्त का केंद्र a के साथ एक समन्वय प्रणाली के केंद्र में बैठता हैएक्स-अक्ष क्षैतिज चल रहा है और एआप-अक्ष लंबवत चल रहा है। वृत्त पार करता हैएक्स-अक्ष परएक्स = 1, आप= 0. वैज्ञानिक और गणितज्ञ उस बिंदु से वामावर्त दिशा में घूमने वाले कोण को परिभाषित करते हैं। तो बिंदुएक्स =1, आप= 0 वृत्त पर 0° के कोण पर है।
यूनिट सर्कल के साथ पाप और कॉस की परिभाषाएं
विद्यार्थियों को दी गई sin, cos और tan की सामान्य परिभाषाएँ त्रिभुजों से संबंधित हैं। वे कहते हैं:
\sin θ = \frac{\text{विपरीत}}{\text{hypotenuse}} \\ \,\\ \cos = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \\ \, \\ \तन θ = \frac{\sin θ}{\cos }
"विपरीत" कोण के विपरीत त्रिभुज के किनारे की लंबाई को संदर्भित करता है, "आसन्न" को संदर्भित करता है कोण के बगल में भुजा की लंबाई और "कर्ण" का तात्पर्य. के विकर्ण पक्ष की लंबाई से है त्रिकोण।
एक त्रिभुज बनाने की कल्पना करें ताकि कर्ण हमेशा इकाई वृत्त की त्रिज्या हो, जिसमें एक कोना वृत्त के किनारे पर और एक उसके केंद्र में हो। इसका मतलब है कि उपरोक्त समीकरणों में कर्ण = 1 है, इसलिए पहले दो बन जाते हैं:
\sin = \frac{\text{विपरीत}}{1} = \text{विपरीत}\\ \,\\ \cos = \frac{\text{adjacent}}{1} = \text{adjacent} \\
यदि आप विचाराधीन कोण को वृत्त के केंद्र में कोण बनाते हैं, तो विपरीत कोण हैआप-कोऑर्डिनेट और आसन्न बस हैएक्स- वृत्त पर उस बिंदु का निर्देशांक जो त्रिभुज को स्पर्श करता है। दूसरे शब्दों में, पाप लौटाता हैआपकिसी दिए गए कोण के लिए यूनिट सर्कल (केंद्र से शुरू होने वाले निर्देशांक का उपयोग करके) पर -कोर्डिनेट करें और कॉस रिटर्न करता हैएक्स-समन्वय। यही कारण है कि cos (0) = 1 और sin (0) = 0, क्योंकि इस बिंदु पर वे निर्देशांक हैं। इसी तरह, cos (९०) = ० और पाप (९०) = १, क्योंकि यह के साथ बिंदु हैएक्स= 0 औरआप= 1. समीकरण रूप में:
\sin = y \\ \cos = x
इसके आधार पर नेगेटिव एंगल को भी आसानी से समझा जा सकता है। ऋणात्मक कोण (प्रारंभिक बिंदु से दक्षिणावर्त मापा जाता है) समान होते हैंएक्ससंगत सकारात्मक कोण के रूप में समन्वय करें, इसलिए:
\cos -θ = \cos
हालांकिआप-कोर्डिनेट स्विच, जिसका अर्थ है कि
\sin -θ = -\sin
यूनिट सर्कल के साथ टैन की परिभाषा
ऊपर दी गई तन की परिभाषा है:
\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}
लेकिन sin और cos की इकाई वृत्त परिभाषाओं के साथ, आप देख सकते हैं कि यह इसके बराबर है:
\tan = \frac{\text{विपरीत}}{\पाठ{आसन्न}}
या, निर्देशांक के संदर्भ में सोच:
\तन θ = \frac{y}{x}
यह बताता है कि क्यों tan 90° या −270° और 270° या −90° के लिए अपरिभाषित है (जहांएक्स= ०), क्योंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।
त्रिकोणमितीय कार्यों का रेखांकन
जब आप यूनिट सर्कल के बारे में सोचते हैं तो पाप या कॉस का ग्राफ बनाना आसान हो जाता है।एक्सजैसे-जैसे आप वृत्त के चारों ओर घूमते हैं, समन्वय सुचारू रूप से बदलता रहता है, 1 से शुरू होकर 180° पर न्यूनतम -1 तक घटता है, और फिर उसी तरह बढ़ता रहता है। sin फ़ंक्शन वही काम करता है, लेकिन उसी पैटर्न का पालन करने से पहले, यह पहले 90° पर 1 के अधिकतम मान तक बढ़ जाता है। दो कार्यों को एक दूसरे के साथ "चरण" से 90 डिग्री कहा जाता है।
रेखांकन टैन को विभाजित करने की आवश्यकता हैआपद्वारा द्वाराएक्स, और इसलिए ग्राफ़ के लिए अधिक जटिल है, और ऐसे बिंदु भी हैं जहां यह अपरिभाषित है।