साइन और कोसाइन की अवधारणाओं में महारत हासिल करना त्रिकोणमिति का एक अभिन्न अंग है। लेकिन एक बार जब आप इन विचारों को अपने बेल्ट के नीचे रखते हैं, तो वे त्रिकोणमिति और बाद में, कैलकुस में अन्य उपयोगी उपकरणों के लिए बिल्डिंग ब्लॉक बन जाते हैं। उदाहरण के लिए, "कोसाइन का नियम" एक विशेष सूत्र है जिसका उपयोग आप किसी त्रिभुज की लुप्त भुजा को खोजने के लिए कर सकते हैं यदि आप जानते हैं अन्य दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच का कोण, या त्रिभुज के कोणों को खोजने के लिए जब आप तीनों को जानते हों पक्ष।
कोसाइन का नियम
कोसाइन का नियम कई संस्करणों में आता है, इस पर निर्भर करता है कि आप किस त्रिभुज के कोण या भुजाओं से निपट रहे हैं:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc × \cos (A) \\ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac × \cos (B) \\ c^2 = a^2 + बी^2 - 2ab × \cos (सी)
हर मामले में,ए, खतथासीएक त्रिभुज की भुजाएँ हैं, औरए, ख, यासीएक ही अक्षर की भुजा का सम्मुख कोण है। इसलिएएकोण विपरीत भुजा हैए, बीकोण विपरीत भुजा हैख, तथासीकोण विपरीत भुजा हैसी. यदि आप त्रिभुज की किसी एक भुजा की लंबाई ज्ञात कर रहे हैं तो यह समीकरण का वह रूप है जिसका आप उपयोग करते हैं।
कोसाइन के नियम को उन संस्करणों में भी फिर से लिखा जा सकता है जो त्रिभुज के तीनों कोणों में से किसी को भी खोजना आसान बनाते हैं, यह मानते हुए कि आप त्रिभुज के तीनों पक्षों की लंबाई जानते हैं:
cos (A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \\ \,\\ cos (B) = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{ 2ac} \\ \,\\ cos (सी) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
एक पक्ष के लिए समाधान
त्रिभुज की भुजा को हल करने के लिए कोसाइन के नियम का उपयोग करने के लिए, आपको तीन जानकारी की आवश्यकता होती है: त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं की लंबाई, साथ ही उनके बीच का कोण। सूत्र का वह संस्करण चुनें जहां आप जिस पक्ष को खोजना चाहते हैं वह समीकरण के बाईं ओर है, और आपके पास पहले से मौजूद जानकारी दाईं ओर है। इसलिए यदि आप भुजा की लंबाई ज्ञात करना चाहते हैंए, आप संस्करण का उपयोग करेंगे
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc × \cos (A)
दो ज्ञात भुजाओं के मान और उनके बीच के कोण को सूत्र में रखें। यदि आपके त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात हैंखतथासीजो क्रमशः 5 इकाइयों और 6 इकाइयों को मापता है, और उनके बीच का कोण 60 डिग्री मापता है (जिसे रेडियंस में π/3 के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है), आपके पास होगा:
a^2 = 5^2 + 6^2 - (2 × 5 × 6) × \cos (60)
कोज्या के मान को देखने के लिए एक टेबल या अपने कैलकुलेटर का उपयोग करें; इस मामले में, cos (60) = 0.5, आपको समीकरण दे रहा है:
a^2 = 5^2 + 6^2 - (2 × 5 × 6) × 0.5
चरण 2 के परिणाम को सरल बनाएं। यह आपको देता है:
ए^2 = 25 + 36 - 30
जो बदले में सरल करता है:
ए^2 = 31
हल करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेंए. यह आपको छोड़ देता है:
ए = \वर्ग{31}
जब आप 31 के मूल्य का अनुमान लगाने के लिए चार्ट या अपने कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं (यह 5.568 है), तो आपको अक्सर अनुमति दी जाएगी - और यहां तक कि प्रोत्साहित भी - उत्तर को इसके अधिक सटीक मूल रूप में छोड़ने के लिए।
एक कोण के लिए हल करना
यदि आप त्रिभुज की तीनों भुजाओं को जानते हैं, तो आप त्रिभुज के किसी भी कोण को खोजने के लिए उसी प्रक्रिया को लागू कर सकते हैं। इस बार, आप उस सूत्र का संस्करण चुनेंगे जो बराबर चिह्न के बाईं ओर लापता या "यह नहीं जानता" कोण डालता है। कल्पना कीजिए कि आप कोण C का माप ज्ञात करना चाहते हैं (जो, याद रखें, कोण के विपरीत पक्ष के रूप में परिभाषित किया गया हैसी). आप सूत्र के इस संस्करण का उपयोग करेंगे:
\cos (सी) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
ज्ञात मानों को - इस प्रकार की समस्या में, जिसका अर्थ है त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई - समीकरण में रखें। उदाहरण के तौर पर, अपने त्रिभुज की भुजाओं को होने देंए= 3 इकाइयां,ख= 4 इकाइयां औरसी= 25 यूनिट। तो आपका समीकरण बन जाता है:
\cos (C) = \frac{3^2 + 4^2 - 5^2}{2 × 3 × 4}
परिणामी समीकरण को सरल बनाने के बाद, आपके पास:
\cos (सी) = \frac{0}{24}
या बस क्योंकि (सी) = 0.
प्रतिलोम कोज्या या 0 की चाप कोज्या की गणना करें, जिसे अक्सर कोस के रूप में नोट किया जाता है-1(0). या, दूसरे शब्दों में, किस कोण की कोज्या 0 है? वास्तव में दो कोण हैं जो इस मान को लौटाते हैं: 90 डिग्री और 270 डिग्री। लेकिन परिभाषा के अनुसार आप जानते हैं कि त्रिभुज में प्रत्येक कोण 180 डिग्री से कम होना चाहिए, ताकि विकल्प के रूप में केवल 90 डिग्री ही बचे।
तो आपके लापता कोण का माप 90 डिग्री है, जिसका अर्थ है कि आप एक समकोण त्रिभुज के साथ काम कर रहे हैं, हालाँकि यह विधि गैर-समकोण त्रिभुजों के साथ भी काम करती है।