हाफ एंगल आइडेंटिटी क्या हैं?

अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं की समीक्षा करना

\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 - \cosθ}{2}}

\cos\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{2}}

\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 -\cosθ}{1 + \cosθ}} \\ \,\\ \tan\bigg(\frac{ θ}{2}\bigg) = \frac{\sinθ}{1 + \cosθ} \\ \,\\ \tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = \frac{1 - \cosθ}{\sinθ} \\ \,\\ \tan\bigg( \frac{θ}{2}\bigg) = \cscθ - \cotθ

\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{1 - \cosθ}} \\ \,\\ \cot\bigg(\frac{ θ}{2}\bigg) = \frac{\sinθ}{1 - \cosθ} \\ \,\\ \cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = \frac{1 + \cosθ}{\sinθ} \\ \,\\ \cot\bigg( \frac{θ}{2}\bigg) = \cscθ + \cotθ

अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करने का एक उदाहरण

कल्पना कीजिए कि आपको 15 डिग्री के कोण की ज्या ज्ञात करने के लिए कहा गया है। यह उन कोणों में से एक नहीं है जिसके लिए अधिकांश छात्र ट्रिग फ़ंक्शंस के मूल्यों को याद करेंगे। लेकिन अगर आप 15 डिग्री को θ/2 के बराबर होने देते हैं और फिर for के लिए हल करते हैं, तो आप पाएंगे कि:

\frac{θ}{2} = 15 \\ θ = 30

क्योंकि परिणामी θ, 30 डिग्री, एक अधिक परिचित कोण है, यहां अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करना सहायक होगा।

चूंकि आपको ज्या खोजने के लिए कहा गया है, इसलिए चुनने के लिए वास्तव में केवल एक अर्ध-कोण सूत्र है:

\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 - \cosθ}{2}}

में प्रतिस्थापित करनाθ/2 = 15 डिग्री औरθ= 30 डिग्री आपको देता है:

\sin (15) = ±\sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{2}}

यदि आपको स्पर्शरेखा या कोटेंजेंट खोजने के लिए कहा गया है, जो दोनों अपनी अर्ध-कोण पहचान को व्यक्त करने के आधे गुणा तरीके हैं, तो आप बस उस संस्करण को चुनेंगे जो काम करने में सबसे आसान लगे।

कुछ अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं की शुरुआत में ± चिह्न का अर्थ है कि विचाराधीन मूल धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। आप चतुर्भुज में त्रिकोणमितीय कार्यों के अपने ज्ञान का उपयोग करके इस अस्पष्टता को हल कर सकते हैं। यहां एक त्वरित पुनर्कथन है जिसमें ट्रिगर फ़ंक्शन वापस आते हैंसकारात्मकवे मान जिनमें चतुर्थांश:

• चतुर्थांश I: सभी ट्रिगर कार्य
  
• चतुर्थांश II: केवल ज्या और कोसेकेंट
• चतुर्थांश III: केवल स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट
• चतुर्थांश IV: केवल कोज्या और secant

क्योंकि इस मामले में आपका कोण θ 30 डिग्री का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि चतुर्थांश I में आता है, आप जानते हैं कि यह जो साइन मान देता है वह सकारात्मक होगा। तो आप ± चिह्न छोड़ सकते हैं और बस मूल्यांकन कर सकते हैं:

\sin (15) = \sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{2}}

कॉस (30) के परिचित, ज्ञात मान में प्रतिस्थापित करें। इस मामले में, सटीक मानों का उपयोग करें (चार्ट से दशमलव अनुमानों के विपरीत):

\sin (15) = \sqrt{\frac{1 - \sqrt{3/2}}{2}}

इसके बाद, पाप (15) का मान ज्ञात करने के लिए अपने समीकरण के दाहिने हिस्से को सरल बनाएं। मूलांक के अंतर्गत व्यंजक को 2/2 से गुणा करके प्रारंभ करें, जो आपको देता है:

\sin (15) = \sqrt{\frac{2(1 - \sqrt{3/2})}{4}}

यह सरल करता है:

\sin (15) = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}

फिर आप 4 का वर्गमूल निकाल सकते हैं:

\sin (15) = \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}}

ज्यादातर मामलों में, यह लगभग उतना ही है जितना आप सरल बनाना चाहते हैं। हालांकि परिणाम बहुत सुंदर नहीं हो सकता है, आपने एक अपरिचित कोण की साइन का सटीक मात्रा में अनुवाद किया है।