ध्रुवीय समीकरण R= f (θ) के रूप में दिए गए गणितीय कार्य हैं। इन कार्यों को व्यक्त करने के लिए आप ध्रुवीय समन्वय प्रणाली का उपयोग करते हैं। ध्रुवीय फलन R का आलेख एक वक्र है जिसमें (R, ) के रूप में बिंदु होते हैं। इस प्रणाली के वृत्ताकार पहलू के कारण, इस पद्धति का उपयोग करके ध्रुवीय समीकरणों को रेखांकन करना आसान है।
समझें कि ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में आप (R, R) द्वारा एक बिंदु को निरूपित करते हैं जहां R ध्रुवीय दूरी है और डिग्री में ध्रुवीय कोण है।
जान लें कि ध्रुवीय समीकरणों द्वारा दी गई कई वक्र आकृतियाँ हैं। इनमें से कुछ सर्कल, लिमेकॉन, कार्डियोइड्स और गुलाब के आकार के वक्र हैं। लिमेकॉन वक्र आर = ए ± बी पाप (θ) और आर = ए ± बी कॉस (θ) के रूप में हैं जहां ए और बी स्थिरांक हैं। लिमकॉन परिवार में कार्डियोइड (दिल के आकार का) वक्र विशेष वक्र हैं। गुलाब की पंखुड़ी वाले वक्रों में R= A sin (n or) या R= A cos (nθ) के रूप में ध्रुवीय समीकरण होते हैं। जब n एक विषम संख्या है, तो वक्र में n पंखुड़ियाँ होती हैं लेकिन जब n सम हो तो वक्र में 2n पंखुड़ियाँ होती हैं।
इन कार्यों को रेखांकन करते समय समरूपता देखें। एक उदाहरण के रूप में ध्रुवीय समीकरण R=4 sin (θ) का उपयोग करें। आपको केवल (Pi) के बीच for के लिए मान खोजने की आवश्यकता है क्योंकि π के बाद मान दोहराए जाते हैं क्योंकि साइन फ़ंक्शन सममित है।
के वे मान चुनें जो समीकरण में R को अधिकतम, न्यूनतम या शून्य बनाते हैं। ऊपर दिए गए उदाहरण में R= 4 sin (θ), जब 0 के बराबर होता है तो R का मान 0 होता है। तो (आर, ) (0, 0) है। यह अवरोधन बिंदु है।
0 और के अंतराल के बीच (θ) के मानों के लिए समीकरण का मूल्यांकन करें। मान लीजिए (θ) 0, π/6, π /4, /3, π /2, 2π /3, 3π /4, 5π /6 और के बराबर है। इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करके R के लिए मानों की गणना करें।
R के मानों को निर्धारित करने के लिए एक रेखांकन कैलकुलेटर का उपयोग करें। उदाहरण के तौर पर, मान लीजिए (θ) = /6 /6। कैलकुलेटर में 4 पाप ( sin /6) दर्ज करें। R का मान 2 है और बिंदु (R, ) (2, /6) है। चरण 2 में सभी (θ) मानों के लिए R ज्ञात कीजिए।
चरण 3 से परिणामी (R, ) बिंदुओं को आलेखित करें जो हैं (0,0), (2, π/6), (2.8, /4 /4), (3.46,/3 /3), (4,π /2) ), (3.46, 2π/3), (2.8, 3π/4), (2, 5π/6), (0, ) को ग्राफ पेपर पर रखकर इन बिंदुओं को जोड़ दें। ग्राफ एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या 2 है और केंद्र (0, 2) पर है। रेखांकन में बेहतर सटीकता के लिए, ध्रुवीय ग्राफ पेपर का उपयोग करें।
ऊपर उल्लिखित प्रक्रिया का पालन करते हुए ध्रुवीय समीकरण द्वारा दिए गए लिमेकॉन, कार्डियोइड्स या किसी अन्य वक्र के समीकरणों को रेखांकन करें।
टिप्स
- ध्यान दें कि ध्रुवीय समीकरणों को रेखांकन करने का विषय व्यापक है और कई अन्य वक्र आकृतियाँ हैं जिनका उल्लेख यहाँ किया गया है। इन्हें रेखांकन करने के बारे में अधिक जानकारी के लिए कृपया संसाधनों को देखें।
- ध्रुवीय समीकरणों को रेखांकन करने का एक तेज़ तरीका एक हाथ से पकड़े हुए रेखांकन कैलकुलेटर या एक ऑनलाइन रेखांकन कैलकुलेटर का उपयोग करना है।
- ध्रुवीय कार्यों का रेखांकन जटिल वक्र उत्पन्न करता है इसलिए बिंदुओं को प्लॉट करके उन्हें रेखांकन करना सबसे अच्छा है।
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