दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य कारक कैसे खोजें

गणित में कई स्थितियों में दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य कारक, या जीसीएफ खोजना उपयोगी होता है, लेकिन विशेष रूप से जब अंशों को सरल बनाने की बात आती है। यदि आप इससे जूझ रहे हैं या सामान्य भाजक ढूंढ रहे हैं, तो सामान्य कारकों को खोजने के लिए दो तरीके सीखने से आपको वह हासिल करने में मदद मिलेगी जो आप करने के लिए निर्धारित कर रहे हैं। सबसे पहले, हालांकि, कारकों की मूल बातें सीखना एक अच्छा विचार है; फिर, आप सामान्य कारकों को खोजने के लिए दो दृष्टिकोणों को देख सकते हैं। अंत में, आप देख सकते हैं कि भिन्न को सरल बनाने के लिए अपने ज्ञान को कैसे लागू किया जाए।

गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जिन्हें आप एक साथ गुणा करके दूसरी संख्या बनाते हैं। उदाहरण के लिए, 2 और 3, 6 के गुणनखंड हैं, क्योंकि 2 × 3 = 6। इसी तरह, 3 और 3 9 के गुणनखंड हैं, क्योंकि 3 × 3 = 9. जैसा कि आप जानते हैं, अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनका स्वयं के अलावा और कोई गुणनखंड नहीं होता है और 1. तो 3 एक अभाज्य संख्या है, क्योंकि केवल दो पूर्ण संख्याएँ (पूर्णांक) जो एक साथ गुणा करके 3 को उत्तर के रूप में दे सकती हैं, वे हैं 3 और 1। इसी तरह, 7 एक अभाज्य संख्या है, और इसी तरह 13 भी है।

इस वजह से, किसी संख्या को "प्राइम फ़ैक्टर" में तोड़ना अक्सर मददगार होता है। इसका अर्थ है किसी अन्य संख्या के सभी अभाज्य संख्या गुणनखंड ज्ञात करना। यह मूल रूप से संख्या को उसके मूलभूत "बिल्डिंग ब्लॉक्स" में तोड़ देता है, जो इस दिशा में एक उपयोगी कदम है दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड ज्ञात करना और जब वर्ग को सरल बनाने की बात आती है तो यह अमूल्य भी होता है जड़ें

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड ज्ञात करने का सबसे सरल तरीका यह है कि प्रत्येक संख्या के सभी गुणनखंडों को सूचीबद्ध किया जाए और उन दोनों द्वारा साझा की जाने वाली उच्चतम संख्या की तलाश की जाए। कल्पना कीजिए कि आप 45 और 60 का उच्चतम सामान्य गुणनखंड ज्ञात करना चाहते हैं। सबसे पहले, उन विभिन्न संख्याओं को देखें जिन्हें आप एक साथ गुणा करके 45 प्राप्त कर सकते हैं।

शुरू करने का सबसे आसान तरीका उन दो के साथ है जिन्हें आप जानते हैं, एक अभाज्य संख्या के लिए भी काम करेंगे। इस मामले में, हम 1 × 45 = 45 जानते हैं, इसलिए हम जानते हैं कि 1 और 45 45 के गुणनखंड हैं। ये 45 के पहले और आखिरी गुणक हैं, इसलिए आप बस वहीं से भर सकते हैं। इसके बाद, यह ज्ञात कीजिए कि क्या 2 एक गुणनखंड है। यह आसान है, क्योंकि कोई भी सम संख्या 2 से विभाज्य होगी, और कोई भी विषम संख्या नहीं होगी। तो हम जानते हैं कि 2 45 का गुणनखंड नहीं है। 3 के बारे में क्या? आपको यह पता लगाने में सक्षम होना चाहिए कि ३, ४५ का एक गुणनखंड है, क्योंकि ३ × १५ = ४५ (आप हमेशा उस पर निर्माण कर सकते हैं जो आप इसे हल करना जानते हैं, उदाहरण के लिए, आपको पता चलेगा कि ३ × १२ = ३६, और इसमें तीन जोड़ने से आप प्राप्त कर सकते हैं 45).

अगला, 4, 45 का गुणनखंड है? नहीं – आप ११ × ४ = ४४ जानते हैं, इसलिए ऐसा नहीं हो सकता! अगला, 5 के बारे में क्या? यह एक और आसान है, क्योंकि 0 या 5 में समाप्त होने वाली कोई भी संख्या 5 से विभाज्य है। और इससे आप आसानी से पता लगा सकते हैं कि 5×9=45. लेकिन 6 अच्छा नहीं है क्योंकि 7 × 6 = 42 और 8 × 6 = 48। इससे आप यह भी देख सकते हैं कि 7 और 8 45 के गुणनखंड नहीं हैं। हम पहले से ही जानते हैं कि 9 है, और यह देखना आसान है कि 10 और 11 कारक नहीं हैं। इस प्रक्रिया को जारी रखें, और आप देखेंगे कि 15 एक कारक है, लेकिन कुछ भी नहीं है।

तो 45 के गुणनखंड हैं: 1, 3, 5, 9, 15 और 45।

60 के लिए, आप ठीक उसी प्रक्रिया से गुजरते हैं। इस बार संख्या सम है (इसलिए आप जानते हैं कि 2 एक कारक है) और 10 से विभाज्य है (इसलिए 5 और 10 दोनों कारक हैं), जो चीजों को थोड़ा आसान बनाता है। प्रक्रिया को फिर से पढ़ने के बाद, आप देखेंगे कि 60 के गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 और 60।

दो सूचियों की तुलना करने से पता चलता है कि 15 45 और 60 का सबसे बड़ा सामान्य कारक है। यह विधि समय लेने वाली हो सकती है, लेकिन यह सरल है और यह हमेशा काम करेगी। आप किसी भी उच्च सामान्य कारक पर भी शुरू कर सकते हैं जिसे आप सीधे देख सकते हैं, और फिर बस प्रत्येक संख्या के उच्च कारक की तलाश कर सकते हैं।

दो संख्याओं के लिए GCF ज्ञात करने की दूसरी विधि अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करना है। प्रत्येक कारक को खोजने की तुलना में अभाज्य गुणनखंडन की प्रक्रिया थोड़ी आसान और अधिक संरचित है। आइए 42 और 63 की प्रक्रिया को देखें।

अभाज्य गुणनखंडन की प्रक्रिया में मूल रूप से संख्या को तब तक तोड़ना शामिल है जब तक कि आपके पास केवल अभाज्य संख्याएँ न रह जाएँ। सबसे छोटे प्राइम (दो) से शुरू करना और वहां से काम करना सबसे अच्छा है। तो 42 के लिए, यह देखना आसान है कि 2 × 21 = 42. फिर 21 से कार्य करें: क्या 2 एक कारक है? नहीं, 3 है? हाँ! 3 × 7 = 21, और 3 और 7 दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं। इसका मतलब है कि 42 के अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 7 हैं। पहले "ब्रेक" ने 2 का उपयोग करके 21 प्राप्त किया, और दूसरे ने इसे 3 और 7 में तोड़ दिया। आप अपने सभी कारकों को एक साथ गुणा करके और मूल संख्या प्राप्त करने के लिए जाँच कर सकते हैं: 2 × 3 × 7 = 42।

६३ के लिए, २ एक गुणनखंड नहीं है, बल्कि ३ है, क्योंकि ३ × २१ = ६३। फिर से, 21 3 और 7 में टूट जाता है - दोनों अभाज्य - ताकि आप अभाज्य कारकों को जान सकें! जाँच से पता चलता है कि 3 × 3 × 7 = 63, आवश्यकतानुसार।

दोनों संख्याओं में कौन-से अभाज्य गुणनखंड हैं, यह देखकर आप उच्चतम उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात कर सकते हैं। इस स्थिति में, 42 में 2, 3 और 7 हैं, और 63 में 3, 3 और 7 हैं। उनमें 3 और 7 समान हैं। उच्चतम सामान्य कारक खोजने के लिए, सभी सामान्य अभाज्य कारकों को एक साथ गुणा करें। इस मामले में, 3 × 7 = 21, इसलिए 21 42 और 63 का सबसे बड़ा सामान्य कारक है।

पिछले उदाहरण को इस तरह से भी तेजी से हल किया जा सकता है। क्योंकि 45 तीन (3 × 15 = 45) से विभाज्य है, और 15 भी तीन (3 × 5 = 15) से विभाज्य है, 45 के अभाज्य गुणनखंड 3, 3 और 5 हैं। ६० के लिए, यह दो से विभाज्य है (२ × ३० = ६०), ३० भी दो से विभाज्य है (२ × १५ = ३०), और फिर आपके पास १५ बचता है, जिसे हम जानते हैं कि इसमें तीन और पाँच अभाज्य गुणनखंड हैं, 2, 2, 3 और 5 को छोड़कर। दो सूचियों की तुलना में, तीन और पांच सामान्य अभाज्य गुणनखंड हैं, इसलिए सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 × 5 = 15 है।

इस घटना में कि तीन या अधिक सामान्य अभाज्य गुणनखंड हैं, आप उन सभी को समान रूप से गुणा करके सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं।

यदि आपको 32/96 जैसे भिन्न के साथ प्रस्तुत किया जाता है, तो यह कोई भी गणना कर सकता है जो इसके बाद आती है जब तक कि आप अंश को सरल बनाने का कोई तरीका नहीं खोज लेते। 32 और 96 का सबसे छोटा सार्व गुणनखंड ज्ञात करने पर आपको एक सरल भिन्न प्राप्त करने के लिए दोनों को विभाजित करने वाली संख्या ज्ञात होगी। इस मामले में:

96 के लिए, प्रक्रिया देता है:

यह स्पष्ट होना चाहिए कि 2⁵ = 32 उच्चतम उभयनिष्ठ गुणनखंड है। भिन्न के दोनों भागों को 32 से भाग देने पर प्राप्त होता है:

सामान्य भाजक ढूँढना एक समान प्रक्रिया है। कल्पना कीजिए कि आपको भिन्नों को 15/45 और 40/60 जोड़ना है। हम पहले उदाहरण से जानते हैं कि 15 45 और 60 का उच्चतम सामान्य कारक है, इसलिए हम उन्हें तुरंत 5/15 और 10/15 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। चूँकि 3 × 5 = 15, और दोनों अंश भी पाँच से विभाज्य हैं, हम दोनों भिन्नों के दोनों भागों को पाँच से विभाजित करके 1/3 और 2/3 प्राप्त कर सकते हैं। अब उन्हें जोड़ना और देखना बहुत आसान हो गया है