गणित में, एक मूलांक कोई भी संख्या होती है जिसमें मूल चिह्न (√) शामिल होता है। मूल चिह्न के नीचे की संख्या एक वर्गमूल होती है यदि मूल चिह्न से पहले कोई सुपरस्क्रिप्ट नहीं है, तो घनमूल एक सुपरस्क्रिप्ट है जो इसके पहले 3 है (3), चौथा मूल यदि 4 इसके पहले आता है (4) और इतने पर। कई रेडिकल्स को सरल नहीं किया जा सकता है, इसलिए एक से विभाजित करने के लिए विशेष बीजीय तकनीकों की आवश्यकता होती है। इनका उपयोग करने के लिए, इन बीजीय समानताओं को याद रखें:
\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
\sqrt{a × b} = \sqrt{a} × \sqrt{b}
हर में संख्यात्मक वर्गमूल
सामान्य तौर पर, हर में एक संख्यात्मक वर्गमूल वाला व्यंजक इस तरह दिखता है:
\frac{a}{\sqrt{b}}
इस भिन्न को सरल बनाने के लिए, आप संपूर्ण भिन्न को. से गुणा करके हर को युक्तिसंगत बनाते हैंख/√ख.
चूंकि
\sqrt{b} × \sqrt{b} = \sqrt{b^2} = b
अभिव्यक्ति बन जाती है
\frac{a\sqrt{b}}{b}
उदाहरण:
1. भिन्न के हर को युक्तिसंगत बनाएं
\frac{5}{\sqrt{6}}
समाधान:भिन्न को √6/√6. से गुणा करें
\frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{6}\sqrt{6}} \\ \,\\ \frac{5\sqrt{6}}{6} \text{ या } \frac{5 }{6}× \sqrt{6}
2. भिन्न को सरल कीजिये
\frac{6\sqrt{32}}{3\sqrt{8}}
समाधान:इस मामले में, आप दो अलग-अलग परिचालनों में रेडिकल साइन के बाहर और उसके अंदर की संख्याओं को विभाजित करके सरल बना सकते हैं:
\frac{6}{3} = 2 \\ \,\\ \frac{\sqrt{32}}{ \sqrt{8}} = \sqrt{4} = 2
अभिव्यक्ति कम हो जाती है
2 × 2 = 4
क्यूब रूट्स द्वारा विभाजित करना
वही सामान्य प्रक्रिया तब लागू होती है जब हर में मूलांक एक घन, चौथा या उच्च मूल हो। एक घनमूल के साथ हर को युक्तिसंगत बनाने के लिए, आपको एक संख्या की तलाश करनी होगी, जिसे मूल चिह्न के तहत संख्या से गुणा करने पर, एक तीसरी घात संख्या उत्पन्न होती है जिसे निकाला जा सकता है। सामान्य तौर पर, संख्या को युक्तिसंगत बनाएं
\frac{a}{\sqrt[3]{b}} \text{ को } \frac{ \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{b^2}} से गुणा करके
उदाहरण:
1. युक्तिसंगत
\frac{5}{\sqrt[3]{5}}
अंश और हर को से गुणा करें 3√25.
\frac{5 ×\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5} ×\sqrt[3]{25}} \\ \,\\ = \frac{5\sqrt[3]{ 25}}{\sqrt[3]{125}} \\ \,\\ = \frac{5\sqrt[3]{25}}{5}
मूल चिह्न के बाहर की संख्या रद्द हो जाती है, और उत्तर है
\वर्ग[3]{25}
हर में दो शर्तों के साथ चर
जब हर में एक रेडिकल में दो शब्द शामिल होते हैं, तो आप आमतौर पर इसके संयुग्म से गुणा करके इसे सरल बना सकते हैं। संयुग्म में वही दो पद शामिल होते हैं, लेकिन आप उनके बीच के चिह्न को उलट देते हैं उदाहरण के लिए, का संयुग्म
x + y \text{ is } x - y
जब आप इन्हें एक साथ गुणा करते हैं, तो आपको मिलता है
एक्स^2 - वाई^2
उदाहरण:
1. के हर को युक्तिसंगत बनाएं
\frac{4}{x + \sqrt{3}}
हल: ऊपर और नीचे को x - √3. से गुणा करें
\frac{4(x - \sqrt{3})}{(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3} )}
सरल करें:
\frac{4x - 4\sqrt{3}}{x^2 - 3}