ज्या का नियम और कोज्या का नियम त्रिकोणमितीय सूत्र हैं जो त्रिभुज के कोणों के मापों को उसकी भुजाओं की लंबाई से संबंधित करते हैं। वे इस संपत्ति से प्राप्त होते हैं कि त्रिभुजों में बड़े कोणों के समानुपाती रूप से बड़े विपरीत पक्ष होते हैं। एक त्रिभुज और चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई की गणना करने के लिए ज्या के नियम या कोज्या के नियम का उपयोग करें (a चतुर्भुज अनिवार्य रूप से दो आसन्न त्रिभुज हैं) यदि आप एक भुजा, एक कोण और एक अतिरिक्त भुजा की माप जानते हैं या कोण।
त्रिभुज के दाता ज्ञात कीजिए। दिए गए पक्षों की लंबाई और कोणों के माप हैं जो पहले से ही ज्ञात हैं। आप किसी त्रिभुज की भुजा की लंबाई का माप तब तक नहीं निकाल सकते जब तक आप एक कोण, एक भुजा और दूसरी भुजा या किसी अन्य कोण का माप नहीं जानते।
त्रिकोण एक एएसए, एएएस, एसएएस या एएसएस त्रिकोण है या नहीं यह निर्धारित करने के लिए दिए गए का प्रयोग करें। एक एएसए त्रिभुज में दो कोण होते हैं और साथ ही दो कोणों को जोड़ने वाली भुजा भी होती है। एक AAS त्रिभुज में दो कोण होते हैं और एक अलग भुजा दी जाती है। एक एसएएस त्रिभुज में दो भुजाएँ होती हैं और साथ ही साथ दोनों पक्षों द्वारा बनाया गया कोण भी होता है। एक ASS त्रिभुज में दो भुजाएँ होती हैं और दिए गए कोण के अनुसार एक अलग कोण होता है।
पक्षों की लंबाई से संबंधित समीकरण स्थापित करने के लिए साइन के नियम का उपयोग करें यदि यह एएसए, एएएस या एएसएस त्रिकोण है। ज्या का नियम कहता है कि त्रिभुज के कोणों और उनकी सम्मुख भुजाओं की ज्याओं का अनुपात बराबर होता है:
\sin \bigg(\frac{A}{a}\bigg) = \sin \bigg(\frac{B}{b}\bigg) = \sin \bigg(\frac{C}{c}\bigg)
कहां हैए, खतथासीकोणों की विपरीत भुजाओं की लंबाई हैंए, खतथासी, क्रमशः।
उदाहरण के लिए, यदि आप जानते हैं कि दो कोण 40 डिग्री और 60 डिग्री हैं और उन्हें जोड़ने वाली भुजा 3 इकाई लंबी है, तो आप समीकरण सेट करेंगे:
\sin \bigg(\frac{80}{3}\bigg) = \sin \bigg(\frac{40}{b}\bigg) = \sin \bigg(\frac{60}{c}\bigg)
आप जानते हैं कि 3 इकाई लंबी भुजा के विपरीत कोण 80 डिग्री है क्योंकि त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
यदि यह एक एसएएस त्रिभुज है तो पक्षों की लंबाई से संबंधित समीकरण स्थापित करने के लिए कोसाइन के नियम का उपयोग करें। कोसाइन का नियम कहता है कि:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
दूसरे शब्दों में, भुजा c की लंबाई का वर्ग अन्य दो भुजाओं की लंबाई के वर्गों के बराबर है जो उन दो भुजाओं के गुणनफल और अज्ञात पक्ष के विपरीत कोण के कोज्या को घटाता है। उदाहरण के लिए, यदि दो भुजाएँ 3 इकाई और 4 इकाइयाँ हों और कोण 60 डिग्री हो, तो आप समीकरण लिखेंगे
सी^2 = 3^2 + 4^2 - 34 × \cos 60
अज्ञात त्रिभुज की लंबाई ज्ञात करने के लिए समीकरणों में चरों को हल करें। के लिए हल करनाखसमीकरण में
\sin \bigg(\frac{80}{3}\bigg) = \sin \bigg(\frac{40}{b}\bigg)
मूल्य देता है
बी = 3 × \frac{\sin (40)}{\sin (80)}
तोह फिरखलगभग 2 है। के लिए हल करनासीसमीकरण में
\sin \bigg(\frac{80}{3}\bigg) = \sin \bigg(\frac{60}{c}\bigg)
मूल्य देता है
सी = 3 × \frac{\sin (60)}{\sin (80)}
तोह फिरसीलगभग 2.6 है। इसी तरह, हल करने के लिएसीसमीकरण में
सी^2 = 3^2 + 4^2 - 34 × \cos (60)
मूल्य देता है
c^2 = 25 - 6 \text{ या } c^2 = 19
तोह फिरसीलगभग 4.4 है।