वृत्त वास्तविक दुनिया में हर जगह हैं, यही वजह है कि वास्तविक जीवन के अनुप्रयोगों में उनकी त्रिज्या, व्यास और परिधि महत्वपूर्ण हैं। लेकिन वृत्तों के अन्य भाग भी हैं - उदाहरण के लिए, क्षेत्र और कोण - जिनका रोजमर्रा के अनुप्रयोगों में भी महत्व है। उदाहरणों में केक और पाई जैसे गोलाकार भोजन के सेक्टर आकार, फेरिस व्हील में यात्रा किया गया कोण, किसी विशेष वाहन के लिए टायर का आकार और विशेष रूप से सगाई के लिए अंगूठी का आकार देना या शादी। इन कारणों और अधिक के लिए, ज्यामिति में एक वृत्त के केंद्रीय कोणों, चापों और क्षेत्रों से संबंधित समीकरण और समस्या गणना भी होती है।
सेंट्रल एंगल क्या है?
केंद्रीय कोण को एक सर्कल के केंद्र से निकलने वाली दो किरणों या रेडी द्वारा बनाए गए कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसमें सर्कल का केंद्र केंद्रीय कोण का शीर्ष होता है। केंद्रीय कोण विशेष रूप से प्रासंगिक होते हैं जब पिज्जा, या किसी अन्य गोलाकार-आधारित भोजन को समान रूप से लोगों की एक निश्चित संख्या में विभाजित करने की बात आती है। मान लीजिए कि एक सोरी में पाँच लोग हैं जहाँ एक बड़ा पिज़्ज़ा और एक बड़ा केक बाँटना है। सभी के लिए एक समान स्लाइस सुनिश्चित करने के लिए पिज्जा और केक दोनों को किस कोण पर विभाजित करना है? चूँकि एक वृत्त में ३६० अंश होते हैं, गणना ३६० अंश को ५ से विभाजित करके ७२ डिग्री हो जाती है ताकि प्रत्येक टुकड़ा, चाहे वह पिज्जा हो या केक, में एक केंद्रीय कोण, या थीटा (θ) होगा, जिसकी माप 72. होगी डिग्री।
चाप की लंबाई से केंद्रीय कोण का निर्धारण
वृत्त का चाप वृत्त की परिधि के "भाग" को दर्शाता है। चाप की लंबाई इसलिए उस "भाग" की लंबाई है। यदि आप पिज्जा स्लाइस की कल्पना करते हैं, तो सेक्टर क्षेत्र हो सकता है पिज्जा के पूरे टुकड़े के रूप में कल्पना की जाती है, लेकिन चाप की लंबाई उसके लिए क्रस्ट के बाहरी किनारे की लंबाई है विशेष टुकड़ा। चाप की लंबाई से, केंद्रीय कोण की गणना की जा सकती है। वास्तव में, एक सूत्र जो केंद्रीय कोण को निर्धारित करने में मदद कर सकता है, यह बताता है कि चाप की लंबाई (ओं) त्रिज्या के केंद्रीय कोण के बराबर है, या
एस = आर ×
जहां कोण, थीटा, को रेडियन में मापा जाना चाहिए। तो केंद्रीय कोण, थीटा को हल करने के लिए, किसी को केवल चाप की लंबाई को त्रिज्या से विभाजित करने की आवश्यकता होती है, या
\frac{s}{r} =
उदाहरण के लिए, यदि चाप की लंबाई 5.9 है और त्रिज्या 3.5329 है, तो केंद्रीय कोण 1.67 रेडियन हो जाता है। एक अन्य उदाहरण यह है कि यदि चाप की लंबाई 2 है और त्रिज्या 2 है, तो केंद्रीय कोण 1 रेडियन हो जाता है। यदि आप रेडियन को डिग्री में बदलना चाहते हैं, तो याद रखें कि 1 रेडियन 180 डिग्री के बराबर होता है जिसे π से भाग दिया जाता है, या 57.2958 डिग्री। इसके विपरीत, यदि कोई समीकरण डिग्री को वापस रेडियन में बदलने के लिए कहता है, तो पहले से गुणा करें, और फिर 180 डिग्री से विभाजित करें।
सेक्टर क्षेत्र से केंद्रीय कोण का निर्धारण
केंद्रीय कोण निर्धारित करने के लिए एक अन्य उपयोगी सूत्र सेक्टर क्षेत्र द्वारा प्रदान किया जाता है, जिसे फिर से पिज्जा के एक टुकड़े के रूप में देखा जा सकता है। इस विशेष सूत्र को दो प्रकार से देखा जा सकता है। पहले में केंद्रीय कोण को डिग्री में मापा जाता है ताकि त्रिज्यखंड क्षेत्र. गुना. के बराबर हो त्रिज्या-वर्ग और फिर 360. से विभाजित डिग्री में केंद्रीय कोण की मात्रा से गुणा किया जाता है डिग्री। दूसरे शब्दों में:
πr^2 × \frac{\text{सेंट्रल एंगल इन डिग्रियों}}{360 \text{डिग्री}} = \text{सेक्टर क्षेत्र}
यदि केंद्रीय कोण को रेडियन में मापा जाता है, तो इसके बजाय सूत्र बन जाता है:
\text{सेक्टर क्षेत्र} = r^2 × \frac{\text{रेडियन में केंद्रीय कोण}}{2}
सूत्रों को पुनर्व्यवस्थित करने से केंद्रीय कोण, या थीटा के मान को हल करने में मदद मिलेगी। 10 सेंटीमीटर की त्रिज्या के साथ 52.3 वर्ग सेंटीमीटर के एक त्रिज्यखंड क्षेत्र पर विचार करें। इसका केंद्रीय कोण डिग्री में क्या होगा? गणना ५२.३ वर्ग सेंटीमीटर के एक सेक्टर क्षेत्र के बराबर होने के साथ शुरू होगी:
\frac{θ}{360 \text{ डिग्री}} × r^2
चूंकि त्रिज्या (आर) 10 के बराबर, संपूर्ण समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\frac{52.3}{100π} × 360
ताकि थीटा को इस प्रकार लिखा जा सके:
\frac{52.3}{314} × 360
इस प्रकार अंतिम उत्तर 60 डिग्री का केंद्रीय कोण बन जाता है।