ज्यामिति में विभिन्न प्रकार के प्रमाणों की व्याख्या कैसे करें

इसका सामना करें: सबूत आसान नहीं हैं। और ज्यामिति में, चीजें बदतर होने लगती हैं, क्योंकि अब आपको चित्रों को तार्किक कथनों में बदलना होगा, सरल रेखाचित्रों के आधार पर निष्कर्ष निकालना होगा। विभिन्न प्रकार के प्रमाण जो आप स्कूल में सीखते हैं, पहली बार में भारी पड़ सकते हैं। लेकिन एक बार जब आप प्रत्येक प्रकार को समझ लेते हैं, तो आपको ज्यामिति में विभिन्न प्रकार के प्रमाणों का उपयोग कब और क्यों करना है, इसके बारे में अपना सिर लपेटना बहुत आसान हो जाएगा।

प्रत्यक्ष प्रमाण तीर की तरह काम करता है। आप दी गई जानकारी से शुरू करते हैं और उस पर निर्माण करते हैं, उस परिकल्पना की दिशा में आगे बढ़ते हुए जिसे आप साबित करना चाहते हैं। प्रत्यक्ष प्रमाण का उपयोग करने में, आप अनुमानों, ज्यामिति के नियमों, ज्यामितीय आकृतियों की परिभाषा और गणितीय तर्क का उपयोग करते हैं। प्रत्यक्ष प्रमाण सबसे मानक प्रकार का प्रमाण है और, कई छात्रों के लिए, ज्यामितीय समस्या को हल करने के लिए गो-टू-प्रूफ शैली है। उदाहरण के लिए, यदि आप जानते हैं कि बिंदु C, रेखा AB का मध्यबिंदु है, तो आप यह सिद्ध कर सकते हैं कि AC = CB मध्यबिंदु की परिभाषा का उपयोग करते हुए: वह बिंदु जो रेखा के प्रत्येक छोर से समान दूरी पर पड़ता है खंड। यह मध्यबिंदु की परिभाषा से हटकर काम कर रहा है और प्रत्यक्ष प्रमाण के रूप में गिना जाता है।

अप्रत्यक्ष प्रमाण एक बुमेरांग की तरह है; यह आपको समस्या को उलटने की अनुमति देता है। आपको दिए गए कथनों और आकृतियों पर काम करने के बजाय, आप उस कथन को लेकर समस्या को बदलते हैं जिसे आप सिद्ध करना चाहते हैं और यह मानते हुए कि यह सत्य नहीं है। वहां से, आप दिखाते हैं कि यह संभवतः सच नहीं हो सकता, जो इसे सच साबित करने के लिए पर्याप्त है। हालांकि यह भ्रामक लगता है, यह कई सबूतों को सरल बना सकता है जो प्रत्यक्ष प्रमाण के माध्यम से साबित करना मुश्किल लगता है। उदाहरण के लिए, कल्पना करें कि आपके पास एक क्षैतिज रेखा AC है जो बिंदु B से होकर गुजरती है, और बिंदु B पर AC के लिए एक लंबवत रेखा है जिसका समापन बिंदु D है, जिसे रेखा BD कहा जाता है। यदि आप यह सिद्ध करना चाहते हैं कि कोण ABD का माप 90 डिग्री है, तो आप यह विचार करके प्रारंभ कर सकते हैं कि यदि ABD का माप 90 डिग्री नहीं होता तो इसका क्या अर्थ होता। यह आपको दो असंभव निष्कर्षों पर ले जाएगा: AC और BD लंबवत नहीं हैं और AC एक रेखा नहीं है। लेकिन ये दोनों ही समस्या में बताए गए तथ्य थे, जो विरोधाभासी है। यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि ABD 90 डिग्री है।

कभी-कभी आप एक ऐसी समस्या का सामना करते हैं जो आपको यह साबित करने के लिए कहती है कि कुछ सच नहीं है। ऐसे मामले में, आप लॉन्चिंग पैड का उपयोग समस्या से सीधे निपटने के लिए खुद को विस्फोट करने के लिए कर सकते हैं, इसके बजाय यह दिखाने के लिए कि कैसे कुछ सच नहीं है, एक प्रति-उदाहरण प्रदान करें। जब आप एक प्रति-उदाहरण का उपयोग करते हैं, तो आपको अपनी बात को सिद्ध करने के लिए केवल एक अच्छे प्रति-उदाहरण की आवश्यकता होती है, और प्रमाण मान्य होगा। उदाहरण के लिए, यदि आपको "सभी समलम्ब चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज हैं" कथन को मान्य या अमान्य करने की आवश्यकता है, तो आपको केवल एक समलंब चतुर्भुज का एक उदाहरण प्रदान करना होगा जो समांतर चतुर्भुज नहीं है। ऐसा आप केवल दो समानांतर भुजाओं वाला एक समलंब खींचकर कर सकते हैं। आपके द्वारा अभी-अभी खींची गई आकृति का अस्तित्व इस कथन का खंडन करेगा कि "सभी समलम्ब चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज हैं।"

जैसे ज्यामिति एक दृश्य गणित है, वैसे ही फ़्लोचार्ट, या प्रवाह प्रमाण, एक दृश्य प्रकार का प्रमाण है। फ्लो प्रूफ में, आप एक दूसरे के बगल में जो जानकारी जानते हैं उसे लिखकर या ड्राइंग करके शुरू करते हैं। यहाँ से निष्कर्ष निकालिए, उन्हें नीचे की पंक्ति में लिखिए। ऐसा करने में, आप अपनी जानकारी को "स्टैकिंग" कर रहे हैं, एक उल्टा पिरामिड जैसा कुछ बना रहे हैं। आप उस जानकारी का उपयोग करते हैं जो आपको नीचे की पंक्तियों पर और अधिक अनुमान लगाने के लिए करनी है जब तक कि आप नीचे तक नहीं पहुंच जाते, एक एकल कथन जो समस्या को साबित करता है। उदाहरण के लिए, आपके पास एक रेखा L हो सकती है जो रेखा MN के बिंदु P से होकर जाती है, और यह प्रश्न आपको MP = PN साबित करने के लिए कहता है, क्योंकि L, MN को समद्विभाजित करता है। आप दी गई जानकारी को सबसे ऊपर "L समद्विभाजित MN पर P" लिखकर शुरू कर सकते हैं। इसके नीचे दी गई जानकारी से निम्नलिखित जानकारी लिखिए: समद्विभाजन एक रेखा के दो सर्वांगसम खंड उत्पन्न करते हैं। इस कथन के आगे, एक ज्यामितीय तथ्य लिखिए जो आपको प्रमाण प्राप्त करने में मदद करेगा; इस समस्या के लिए, यह तथ्य कि सर्वांगसम रेखाखंडों की लंबाई बराबर होती है, मदद करता है। वो लिखो। इन दो सूचनाओं के नीचे आप निष्कर्ष लिख सकते हैं, जो स्वाभाविक रूप से इस प्रकार है: MP = PN।