बीजगणित में एक प्रति उदाहरण क्या है?

गणित में, किसी कथन का खंडन करने के लिए प्रति-उदाहरण का उपयोग किया जाता है। यदि आप यह साबित करना चाहते हैं कि एक कथन सत्य है, तो आपको यह प्रदर्शित करने के लिए एक प्रमाण लिखना होगा कि यह हमेशा सत्य है; उदाहरण देना पर्याप्त नहीं है। प्रमाण लिखने की तुलना में, प्रति-उदाहरण लिखना बहुत आसान है; यदि आप यह दिखाना चाहते हैं कि कोई कथन सत्य नहीं है, तो आपको केवल उस परिदृश्य का एक उदाहरण देना होगा जिसमें कथन असत्य है। बीजगणित में अधिकांश प्रति-उदाहरणों में संख्यात्मक जोड़तोड़ शामिल हैं।

प्रमाण-लेखन और प्रति-उदाहरण खोजना गणित की प्राथमिक कक्षाओं में से दो हैं। अधिकांश गणितज्ञ नए प्रमेयों और गुणों को विकसित करने के लिए प्रमाण-लेखन पर ध्यान केंद्रित करते हैं। जब कथनों या अनुमानों को सत्य सिद्ध नहीं किया जा सकता, तो गणितज्ञ प्रति-उदाहरण देकर उनका खंडन करते हैं।

चर और अमूर्त संकेतन का उपयोग करने के बजाय, आप किसी तर्क का खंडन करने के लिए संख्यात्मक उदाहरणों का उपयोग कर सकते हैं। बीजगणित में, अधिकांश प्रति-उदाहरणों में विभिन्न सकारात्मक और नकारात्मक या विषम और सम संख्याओं, चरम मामलों और 0 और 1 जैसी विशेष संख्याओं का उपयोग करके हेरफेर शामिल है।

प्रति-उदाहरण का दर्शन यह है कि यदि एक परिदृश्य में कथन सत्य नहीं है, तो कथन असत्य है। एक गैर-गणित उदाहरण है "टॉम ने कभी झूठ नहीं कहा।" यह दिखाने के लिए कि यह कथन सत्य है, आपको "सबूत" प्रदान करना होगा कि टॉम ने कभी भी टॉम द्वारा किए गए प्रत्येक कथन को ट्रैक करके झूठ नहीं बोला है। हालाँकि, इस कथन का खंडन करने के लिए, आपको केवल एक झूठ दिखाना होगा जो टॉम ने कभी बोला हो।

"सभी अभाज्य संख्याएँ विषम होती हैं।" यद्यपि लगभग सभी अभाज्य संख्याएँ, जिनमें 3 से ऊपर के सभी अभाज्य संख्याएँ शामिल हैं, विषम हैं, "2" एक अभाज्य संख्या है जो सम है; यह कथन गलत है; "2" प्रासंगिक प्रतिवाद है।

"घटाव क्रमविनिमेय है।" जोड़ और गुणा दोनों ही क्रमविनिमेय हैं -- इन्हें किसी भी क्रम में किया जा सकता है। अर्थात्, किसी भी वास्तविक संख्या a और b के लिए, a + b= b + a और a * b = b * a। हालांकि, घटाव क्रमविनिमेय नहीं है; यह साबित करने वाला एक प्रति उदाहरण है: 3 - 5 5 - 3 के बराबर नहीं है।

"हर निरंतर कार्य अलग-अलग होता है।" निरपेक्ष कार्य |x| सभी सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं के लिए निरंतर है; लेकिन यह x = 0 पर अवकलनीय नहीं है; चूंकि |x| एक सतत फलन है, यह प्रति-उदाहरण सिद्ध करता है कि प्रत्येक सतत फलन अवकलनीय नहीं है।