एवेक्टरवह राशि है जिसके साथ परिमाण और दिशा दोनों जुड़े होते हैं। यह एक से अलग हैअदिशमात्रा, जो केवल एक परिमाण से मेल खाती है। वेग एक सदिश राशि का एक उदाहरण है। इसमें एक परिमाण (कितनी तेजी से कुछ चल रहा है) और एक दिशा (जिस दिशा में वह यात्रा कर रहा है) दोनों हैं।
सदिशों को अक्सर तीर के रूप में खींचा जाता है। तीर की लंबाई वेक्टर के परिमाण से मेल खाती है, और तीर का बिंदु दिशा को इंगित करता है।
वेक्टर जोड़ और घटाव के साथ काम करने के दो तरीके हैं। पहला रेखांकन है, स्वयं वैक्टर के तीर आरेखों में हेरफेर करके। दूसरा गणितीय रूप से है, जो सटीक परिणाम देता है।
एक आयाम में ग्राफिकल वेक्टर जोड़ और घटाव
दो वैक्टर जोड़ते समय, आप वेक्टर ओरिएंटेशन को बनाए रखते हुए दूसरे वेक्टर की पूंछ को पहले वेक्टर की नोक पर रखते हैं।परिणामी वेक्टरएक वेक्टर है जो पहले वेक्टर की पूंछ से शुरू होता है और एक सीधी रेखा में दूसरे वेक्टर की नोक पर इंगित करता है।
उदाहरण के लिए, वैक्टर जोड़ने पर विचार करेंएतथाखजो एक रेखा के अनुदिश एक ही दिशा में इंगित करता है। हम उन्हें "टिप टू टेल" और परिणामी वेक्टर रखते हैं,सी, एक ही दिशा में इंगित करता है और इसकी लंबाई होती है जो कि की लंबाई का योग हैएतथाख.
एक आयाम में वैक्टर को घटाना अनिवार्य रूप से दूसरे वेक्टर को "फ्लिप" करने के अलावा जोड़ने जैसा ही है। इसका परिणाम सीधे इस तथ्य से होता है कि घटाव एक ऋणात्मक जोड़ने के समान है।
एक आयाम में गणितीय वेक्टर जोड़ और घटाव
एक आयाम में काम करते समय, एक वेक्टर की दिशा को संकेत द्वारा दर्शाया जा सकता है। हम सकारात्मक दिशा होने के लिए एक दिशा चुनते हैं (आमतौर पर "ऊपर" या "दाएं" को सकारात्मक के रूप में चुना जाता है), और उस दिशा में इंगित करने वाले किसी भी वेक्टर को सकारात्मक मात्रा के रूप में असाइन करते हैं। ऋणात्मक दिशा की ओर संकेत करने वाला कोई भी सदिश एक ऋणात्मक मात्रा है। सदिशों को जोड़ते या घटाते समय, उपयुक्त चिह्नों के साथ उनके परिमाणों को जोड़ें या घटाएं।
मान लीजिए पिछले भाग में, वेक्टरए3 और वेक्टर का परिमाण थाख5 का परिमाण था। फिर परिणामी वेक्टरसी = ए + बी =8, परिमाण 8 का एक वेक्टर जो सकारात्मक दिशा में इंगित करता है, और परिणामी वेक्टरघ = ए - बी =-2, परिमाण 2 का एक सदिश ऋणात्मक दिशा में इंगित करता है। ध्यान दें कि यह पहले के ग्राफिकल परिणामों के अनुरूप है।
युक्ति: केवल उसी प्रकार के वैक्टर जोड़ने के लिए सावधान रहें: वेग + वेग, बल + बल आदि। भौतिकी में सभी गणित के साथ, इकाइयों का मिलान होना चाहिए!
दो आयामों में ग्राफिकल वेक्टर जोड़ और घटाव
यदि कार्टेशियन स्पेस में पहला वेक्टर और दूसरा वेक्टर एक ही लाइन के साथ नहीं हैं, तो आप उन्हें जोड़ने या घटाने के लिए उसी "टिप टू टेल" विधि का उपयोग कर सकते हैं। दो वैक्टर जोड़ने के लिए, बस दूसरे को उठाने और अपनी पूंछ को पहले की नोक पर रखने की कल्पना करें, जैसा कि दिखाया गया है। परिणामी वेक्टर एक तीर है जो पहले वेक्टर की पूंछ से शुरू होता है और दूसरे वेक्टर की नोक पर समाप्त होता है:
जैसे एक आयाम में, एक वेक्टर को दूसरे से घटाना फ़्लिप करने और जोड़ने के बराबर है। ग्राफिक रूप से, यह निम्न जैसा दिखता है:
•••दाना चेन | विज्ञान
नोट: कभी-कभी दो जोड़ वाले वैक्टरों की पूंछ को एक साथ रखकर और समांतर चतुर्भुज बनाकर वेक्टर जोड़ को ग्राफिक रूप से दिखाया जाता है। परिणामी सदिश तब इस समांतर चतुर्भुज का विकर्ण होता है।
दो आयामों में गणितीय वेक्टर जोड़ और घटाव
गणितीय रूप से दो आयामों में सदिशों को जोड़ने और घटाने के लिए, इन चरणों का पालन करें:
प्रत्येक वेक्टर को a. में विघटित करेंएक्स-घटक, जिसे कभी-कभी क्षैतिज घटक कहा जाता है, और aआप-घटक, जिसे कभी-कभी त्रिकोणमिति का उपयोग करते हुए ऊर्ध्वाधर घटक कहा जाता है। (ध्यान दें कि वेक्टर किस दिशा की ओर इशारा कर रहा है, इसके आधार पर घटक या तो नकारात्मक या सकारात्मक हो सकते हैं)
जोड़ेंएक्स-दोनों वैक्टर के घटक एक साथ, और फिर जोड़ेंआप-दोनों वैक्टर के घटक एक साथ। यह परिणाम आपको देता हैएक्सतथाआपपरिणामी वेक्टर के घटक।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके परिणामी वेक्टर का परिमाण पाया जा सकता है।
परिणामी वेक्टर की दिशा व्युत्क्रम स्पर्शरेखा फ़ंक्शन का उपयोग करके त्रिकोणमिति के माध्यम से पाई जा सकती है। यह दिशा आमतौर पर सकारात्मक के संबंध में कोण के रूप में दी जाती हैएक्स-एक्सिस।
वेक्टर जोड़ में त्रिकोणमिति
त्रिकोणमिति से एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों को याद करें।
\sin(\theta)=\frac{b}{c}\\\text{ }\\ \cos(\theta)=\frac{a}{c} \\\text{ }\\ \tan(\ थीटा)=\frac{b}{a}
पाइथागोरस प्रमेय:
सी^2=ए^2+बी^2
प्रक्षेप्य गति क्लासिक उदाहरण प्रदान करती है कि हम इन संबंधों का उपयोग वेक्टर को विघटित करने और वेक्टर के अंतिम परिमाण और दिशा को निर्धारित करने के लिए कैसे कर सकते हैं।
कैच खेलने वाले दो लोगों पर विचार करें। मान लीजिए आपको बताया गया है कि गेंद को क्षैतिज के साथ 50 डिग्री के कोण पर 16 मीटर/सेकेंड की गति से 1.3 मीटर की ऊंचाई से फेंका जाता है। इस समस्या का विश्लेषण शुरू करने के लिए, आपको इस प्रारंभिक वेग वेक्टर को में विघटित करना होगाएक्सतथाआपदिखाए गए घटक:
v_{xi}=v_i\cos(\theta)=16\times\cos (50)=10.3 \text{m/s}\\ v_{yi}=v_i\sin(\theta)=16\times\sin (५०)=12.3\पाठ{ मी/सेक}
यदि पकड़ने वाला गेंद से चूक जाता है और वह जमीन से टकराता है, तो वह किस अंतिम वेग से टकराएगा?
गतिज समीकरणों का उपयोग करके, हम यह निर्धारित करने में सक्षम हैं कि गेंद के वेग के अंतिम घटक हैं:
v_{xf}=10.3 \पाठ{m/s}\\ v_{yf}=-13.3\पाठ{ m/s}
पाइथागोरस प्रमेय हमें परिमाण खोजने की अनुमति देता है:
v_{f}=\sqrt{(10.3)^2+ (-13.3)^2}=16.8\text{ मी/से.}
और त्रिकोणमिति हमें कोण निर्धारित करने की अनुमति देती है:
\थीटा=\तन^{-1}\बड़ा(\frac{-13.3}{10.3}\बड़ा)=-52.2\डिग्री
वेक्टर जोड़ और घटाव उदाहरण
एक कोने के चारों ओर एक कार पर विचार करें। मान लीजिएवीमैंकार के लिए में हैएक्स-परिमाण 10 मीटर/सेकेंड के साथ दिशा, औरवीएफसकारात्मक के साथ 45 डिग्री के कोण पर हैएक्स-अक्ष परिमाण 10 मीटर/सेकेंड के साथ। यदि गति में यह परिवर्तन 3 सेकंड में होता है, तो कार के त्वरण का परिमाण और दिशा क्या होगी?
उस त्वरण को याद करेंएएक वेक्टर मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है:
a=\frac{(v_f-v_i)}{t}
कहा पेवीएफतथावीमैंक्रमशः अंतिम और प्रारंभिक वेग हैं (और इसलिए, वेक्टर मात्रा भी हैं)।
वेक्टर अंतर की गणना करने के लिएवीएफ - वीमैं,हमें पहले प्रारंभिक और अंतिम वेग वाले वैक्टर को विघटित करना होगा:
v_{xi}=10\text{ m/s}\\ v_{yi}=0\text{ m/s}\\ v_{xf}=10\cos (45)=7.07\text{ m/s} \\ v_{yf}=10\sin (45)=7.07\text{ m/s}
फिर हम फाइनल घटाते हैंएक्सतथाआपप्रारंभिक से घटकएक्सतथाआपघटकों को प्राप्त करने के लिए componentsवीएफ - वीमैं:
फिर हम घटाते हैंएक्सतथाआपअवयव:
(v_f-v_i) _x=v_{xf}-v_{xi}=7.07-10=-2.93\text{ m/s}\\ (v_f-v_i) _y=v_{yf}-v_{yi}=7.07 -0=7.07\पाठ{ मी/सेक}
फिर त्वरण वेक्टर के घटकों को प्राप्त करने के लिए प्रत्येक को समय से विभाजित करें:
a_x=\frac{-2.93}{3}=-0.977\text{ m/s}^2\\\text{ }\\ a_y=\frac{7.07}{3}=2.36\text{ m/s} ^2
त्वरण सदिश का परिमाण ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें:
a=\sqrt{(-0.977)^2+(2.36)^2}=2.55\text{ m/s}^2
अंत में, त्वरण वेक्टर की दिशा खोजने के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग करें:
\थीटा=\तन^{-1}\बड़ा(\frac{2.36}{-0.977}\बड़ा)=113\डिग्री
