Avant de discuter du centre de gravité, supposons quelques paramètres. Un, que vous avez affaire à un objet qui se trouve à la surface de la Terre, pas quelque part dans l'espace. Et deuxièmement, que l'objet est raisonnablement petit – disons, pas un vaisseau spatial stationné sur Terre, attendant de décoller. Une fois toutes ces influences extraterrestres éliminées, vous êtes bien placé pour calculer le centre de gravité des objets géométriques à l'aide d'un formule relativement simple - et en fait, en raison de ces conditions qui viennent d'être définies, vous utiliserez la même formule pour trouver le centre de gravité que pour trouver le le centre de masse.
Comment écrire sur le centre de gravité
Le centre de gravité dans un plan à deux dimensions est généralement désigné par les coordonnées (xcg, ycg) ou parfois par les variablesXetouiavec une barre au-dessus d'eux. De plus, le terme "centre de gravité" est parfois abrégé en cg.
Comment calculer le CG d'un triangle
Votre manuel de mathématiques ou de physique contiendra souvent des graphiques pour déterminer le centre d'équilibre de certaines figures. Mais pour certaines formes géométriques courantes, vous pouvez utiliser la formule de centre de gravité appropriée pour trouver le centre de gravité de cette forme.
Pour les triangles, le centre de gravité se situe au point d'intersection des trois médianes. Si vous commencez à un sommet du triangle, puis tracez une ligne droite jusqu'au milieu de l'autre côté, c'est une médiane. Faites de même pour les deux autres sommets, et le point d'intersection des trois médianes est le centre de gravité du triangle.
Et bien sûr, il existe une formule pour cela. Si les coordonnées du centre de gravité du triangle sont (xcg, ycg), vous trouvez ses coordonnées ainsi :
x_{cg}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}
Où (x1, y1), (X2, y2) et (x3, y3) sont les coordonnées des trois sommets du triangle. Vous pouvez choisir quel sommet se voit attribuer quel numéro.
Formule du centre de gravité pour un rectangle
Avez-vous remarqué que pour trouver le centre de gravité d'un triangle, il suffit de faire la moyenne de la valeur des coordonnées x, puis faire la moyenne de la valeur des coordonnées y et utiliser les deux résultats comme coordonnées de votre centre de gravité ?
Pour trouver le centre de gravité d'un rectangle, tu fais exactement la même chose. Mais pour rendre vos calculs encore plus faciles, supposons que le rectangle est orienté carrément à un cartésien plan de coordonnées (donc il n'est pas placé à un angle), et que son sommet inférieur gauche est à l'origine du graphique. Dans ce cas, pour trouver (xcg, ycg) pour un rectangle, il suffit de calculer :
x_{cg}=\frac{\text{width}}{2}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{\text{height}}{2}
Si vous ne voulez pas déplacer votre rectangle à l'origine du plan de coordonnées ou si, pour une raison quelconque, il n'est pas exactement à l'équerre du axes de coordonnées, vous pouvez faire face à cette formule un peu plus effrayante, mais toujours efficace, pour faire la moyenne de toutes ses coordonnées x pour trouver la valeur de xcg, et faire la moyenne de toutes les coordonnées y pour trouver la valeur de ycg:
x_{cg}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}
L'équation du centre de gravité
Que se passe-t-il si vous devez calculer le centre de gravité pour une forme qui correspond à toutes les hypothèses mentionnées en premier (en gros, vous n'essayez pas de faire de la science des fusées littérales en trouvant le centre de gravité d'objets dans l'espace), mais il n'entre dans aucune des catégories que vous venez de mentionner ou dans les graphiques au dos de votre cahier de texte? Ensuite, vous pouvez subdiviser votre forme en formes plus familières et utiliser les équations suivantes pour trouver leur centre de gravité collectif :
x_{cg}=\frac{a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n}{a_1+a_2+...+a_n}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{a_1y_1+a_2y_2+...+ a_ny_n}{a_1+a_2+...+a_n}
Ou pour le dire autrement, xcg est égal à l'aire de la section 1 fois son emplacement sur l'axe des x, ajouté à l'aire de la section 2 fois son emplacement, et ainsi de suite jusqu'à ce que vous ayez additionné l'aire fois l'emplacement de toutes les sections; puis divisez ce montant entier par la superficie totale de toutes les sections. Ensuite, faites de même pour y.
Q: Comment puis-je trouver l'aire de chaque section ?La division de votre forme complexe ou irrégulière en polygones plus familiers vous permet d'utiliser des formules standardisées pour trouver la zone. Par exemple, si vous avez divisé cette forme en morceaux rectangulaires, vous pouvez utiliser la formule longueur × largeur pour trouver l'aire de chaque morceau.
Q: Quel est « l'emplacement » de chaque section ?L'emplacement de chaque section est la coordonnée appropriée à partir du centre de gravité de cette section. Alors si tu veux2 (l'emplacement du segment 2), vous devez en fait fournir la coordonnée y du centre de gravité de ce segment. Encore une fois, c'est pourquoi vous subdivisez un objet de forme étrange en formes plus familières, car vous pouvez utiliser le formules déjà discutées pour trouver le centre de gravité de chaque forme, puis extraire la coordonnée appropriée (s).
Q: Où va ma forme sur le plan de coordonnées ?Vous pouvez choisir l'emplacement de votre forme sur le plan de coordonnées - gardez simplement à l'esprit que le centre de gravité de votre réponse sera par rapport au même point de référence. Il est plus facile de placer votre objet dans le premier quadrant de votre graphique, avec son bord inférieur contre l'axe des x et le bord gauche contre l'axe des y de sorte que toutes les valeurs x et y soient positives, mais aussi suffisamment petites pour être maniable.
Astuces pour trouver le centre de gravité
S'il s'agit d'un seul objet, il suffit parfois d'intuition et d'un peu de logique pour trouver son centre de gravité. Par exemple, si vous envisagez un disque plat, le centre de gravité sera le centre du disque. Dans un cylindre, c'est le milieu de l'axe du cylindre. Pour un rectangle (ou un carré), c'est le point de convergence des lignes diagonales.
Vous avez peut-être remarqué un motif ici: si l'objet en question a une ligne de symétrie, le centre de gravité sera sur cette ligne. Et s'il a plusieurs axes de symétrie, le centre de gravité sera l'endroit où ces axes se croisent.
Enfin, si vous essayez de trouver le centre de gravité d'un objet vraiment complexe, vous avez deux options: soit sortir vos meilleures intégrales de calcul (voir Ressources pour une triple intégrale qui représente le centre de gravité pour une masse non uniforme) ou saisissez vos données dans un centre de gravité spécialement conçu calculatrice. (Voir Ressources pour un exemple de calculateur de centre de gravité pour les avions radiocommandés.)