Vous êtes-vous déjà demandé combien d'eau ou de café peut contenir l'un de ces gobelets jetables en plastique apparemment innombrables, du genre plus étroit à la base qu'au sommet? En d'autres termes, presque tous les gobelets jetables en papier, en plastique ou autres que vous avez déjà vus ou utilisés? (Pour être juste, certaines tasses n'ont pas de côtés inclinés et sont donc cylindriques, mais cela ne semble s'appliquer qu'aux permanent tasses.)
Le type de forme décrit ci-dessus est basé sur un cône, qui est le résultat d'une ligne balayant l'espace et traçant un chemin courbe tel qu'un cercle (dans le cas le plus simple) ou une ellipse. Une tasse n'est généralement pas pointue (certaines qui contiennent des friandises glacées le sont), mais c'est toujours un "morceau" de cône, géométriquement parlant. Cela permet de trouver facilement, avec patience, le volume.
Le volume d'un cône
La formule du volume d'un cône régulier ou droit (c'est-à-dire à base circulaire) est
V=\frac{1}{3}πr^2h
Où
r est le rayon de la base et h est la hauteur du cône. De plus, comme de côté, un cône droit ressemble à deux triangles rectangles placés ensemble, la longueur s du côté incliné du cône a la même valeur que l'hypoténuse de l'un de ces triangles. Il est donc donné en appliquant le théorème de Pythagore: r2 + h2 = s2, doncs=\sqrt{r^2 + h^2}
Le volume d'une tasse conique: première partie
Supposons que vous ayez une tasse de 8 cm de large à la base, de 10 cm de large au sommet et de 15 cm de haut. Combien de liquide peut-il contenir en cm3, également appelé millilitres (mL) ?
Une façon d'aborder ce problème consiste à dessiner une coupe transversale de la coupe, c'est-à-dire à quoi elle ressemble de côté après avoir été coupée exactement en deux perpendiculairement à votre champ de vision. Si vous tracez des lignes verticales vers le haut à partir des deux points où la base rencontre les côtés jusqu'au sommet de la coupe, vous avez maintenant divisé la section transversale en deux triangles rectangles réfléchis égaux et un rectangle. Les triangles ont des "jambes" longues de 15 cm et des "jambes" courtes de 1 cm (divisant la différence entre la largeur de la base et la largeur du haut).
Le volume d'une tasse conique: deuxième partie
Notez ce qui se passe si vous prolongez les côtés de la tasse dans votre diagramme jusqu'à un point en dessous de la base. Prolongez également une ligne depuis le centre du sommet vers le point vers lequel ces lignes convergent. (Vous n'aurez peut-être pas de place pour que les côtés se rejoignent et forment un triangle fermé, mais approchez-vous le plus possible.)
En raison du principe des triangles similaires, vous savez que le rapport de la longue jambe des triangles d'en haut (15 cm) à celui de la petite jambe (1 cm) ou 15 à 1, doit être le même que le rapport de la petite jambe à la longue jambe de l'un des triangles nouvellement créés entre la base de la "coupe" et le point. Puisque la petite jambe a une valeur de 4 cm, la longue jambe doit être 15 fois supérieure, soit 60 cm.
Vous avez donc maintenant affaire à la section transversale d'un cône d'une hauteur totale de 15 + 60 = 75 cm et d'une largeur de 10 cm, soit un rayon de 5 cm. Le volume de ce cône moins le volume du cône s'étendant jusqu'à la base de la tasse, qui a une hauteur de 60 cm et une largeur de 8 cm (r = 4 cm) donne le résultat souhaité :
\begin{aligned} \frac{1}{3}×π×5^2×75 = 1963,5 \text{ mL} \\ \frac{1}{3}×π×4^2×60 = 1005,3 \text { ml} \\ 1963,5 - 1005,3 = 958,2 \text{ ml} \end{aligned}
Ainsi, votre tasse contient très près de 1 L (1 000 ml) de liquide.
Calculateur de volume de cône et de tasse
Voir les ressources pour une liste de calculatrices impliquant des cônes donnés différentes combinaisons initiales d'informations. Alternativement, vous pouvez utiliser une approche comme celle ci-dessus et diviser la tasse en différentes formes, puis utiliser des formules plus simples (comme la formule du volume d'un cube) dans des combinaisons appropriées pour trouver le total le volume.