Une série de Taylor est une méthode numérique de représentation d'une fonction donnée. Cette méthode a des applications dans de nombreux domaines de l'ingénierie. Dans certains cas, tels que le transfert de chaleur, l'analyse différentielle aboutit à une équation qui correspond à la forme d'une série de Taylor. Une série de Taylor peut également représenter une intégrale si l'intégrale de cette fonction n'existe pas analytiquement. Ces représentations ne sont pas des valeurs exactes, mais le fait de calculer plus de termes dans la série rendra l'approximation plus précise.
Choisissez un centre pour la série Taylor. Ce nombre est arbitraire, mais c'est une bonne idée de choisir un centre où il y a une symétrie dans la fonction ou où la valeur du centre simplifie les mathématiques du problème. Si vous calculez la représentation en série de Taylor de f (x) = sin (x), un bon centre à utiliser est a = 0.
Déterminez le nombre de termes que vous souhaitez calculer. Plus vous utilisez de termes, plus votre représentation sera précise, mais comme une série de Taylor est une série infinie, il est impossible d'inclure tous les termes possibles. L'exemple du péché (x) utilisera six termes.
Calculez les dérivés dont vous aurez besoin pour la série. Pour cet exemple, vous devez calculer toutes les dérivées jusqu'à la sixième dérivée. Étant donné que la série de Taylor commence à "n = 0", vous devez inclure la dérivée "0e", qui n'est que la fonction d'origine. 0e dérivée = sin (x) 1er = cos (x) 2e = -sin (x) 3e = -cos (x) 4e = sin (x) 5e = cos (x) 6e = -sin (x)
Calculez la valeur de chaque dérivée au centre que vous avez choisi. Ces valeurs seront les numérateurs des six premiers termes de la série de Taylor. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Utilisez les calculs de dérivée et le centre pour déterminer les termes de la série de Taylor. 1er mandat; n = 0; (0/0!)(x - 0)^0 = 0/1 2ème terme; n = 1; (1/1!)(x - 0)^1 = x/1! 3e mandat; n = 2; (0/2!)(x - 0)^2 = 0/2! 4e mandat; n = 3; (-1/3!)(x - 0)^3 = -x^3/3! 5e mandat; n = 4; (0/4!)(x - 0)^4 = 0/4! 6e mandat; n = 5; (1/5 !)(x - 0)^5 = x^5/5! Série de Taylor pour sin (x): sin (x) = 0 + x/1! + 0 - (x^3)/3! + 0 +(x^5)/5! + ...
Supprimez les termes zéro de la série et simplifiez l'expression algébriquement pour déterminer la représentation simplifiée de la fonction. Ce sera une série complètement différente, donc les valeurs pour "n" utilisées précédemment ne s'appliquent plus. péché (x) = 0 + x/1! + 0 - (x^3)/3! + 0 +(x^5)/5! +... péché (x) = x/1! - (x^3)/3! +(x^5)/5! -... Puisque les signes alternent entre positif et négatif, la première composante de l'équation simplifiée doit être (-1)^n, car il n'y a pas de nombre pair dans la série. Le terme (-1)^n donne un signe négatif lorsque n est impair et un signe positif lorsque n est pair. La représentation en série des nombres impairs est (2n + 1). Lorsque n = 0, ce terme est égal à 1; lorsque n = 1, ce terme vaut 3 et ainsi de suite jusqu'à l'infini. Dans cet exemple, utilisez cette représentation pour les exposants de x et les factorielles au dénominateur
Utilisez la représentation de la fonction à la place de la fonction d'origine. Pour les équations plus avancées et plus difficiles, une série de Taylor peut rendre une équation insoluble résoluble, ou au moins donner une solution numérique raisonnable.