Si vous connaissez deux points qui tombent sur une courbe exponentielle particulière, vous pouvez définir la courbe en résolvant la fonction exponentielle générale à l'aide de ces points. En pratique, cela signifie substituer les points pour y et x dans l'équation y = abX. La procédure est plus facile si la valeur x pour l'un des points est 0, ce qui signifie que le point est sur l'axe des y. Si aucun des deux points n'a de valeur x nulle, le processus de résolution de x et y est un peu plus compliqué.
Pourquoi les fonctions exponentielles sont importantes
De nombreux systèmes importants suivent des schémas exponentiels de croissance et de décroissance. Par exemple, le nombre de bactéries dans une colonie augmente généralement de façon exponentielle, et le rayonnement ambiant dans l'atmosphère à la suite d'un événement nucléaire diminue généralement de manière exponentielle. En prenant des données et en traçant une courbe, les scientifiques sont mieux placés pour faire des prédictions.
D'une paire de points à un graphique
Tout point sur un graphique à deux dimensions peut être représenté par deux nombres, qui sont généralement écrits dans le la forme (x, y), où x définit la distance horizontale à partir de l'origine et y représente la verticale distance. Par exemple, le point (2, 3) est à deux unités à droite de l'axe des y et à trois unités au-dessus de l'axe des x. D'autre part, le point (-2, -3) est à deux unités à gauche de l'axe des y. et trois unités au-dessous de l'axe des x.
Si vous avez deux points, (x1, oui1) et (x2, oui2), vous pouvez définir la fonction exponentielle qui passe par ces points en les substituant dans l'équation y = abX et résoudre pour a et b. En général, vous devez résoudre cette paire d'équations :
oui1 = abx1 Andy2 = abx2, .
Sous cette forme, le calcul semble un peu compliqué, mais il le semble moins après avoir fait quelques exemples.
Un point sur l'axe X
Si l'une des valeurs x -- disons x1 -- vaut 0, l'opération devient très simple. Par exemple, la résolution de l'équation pour les points (0, 2) et (2, 4) donne :
2 = ab0 et 4 = ab2. Puisque nous savons que b0 = 1, la première équation devient 2 = a. La substitution de a dans la deuxième équation donne 4 = 2b2, que nous simplifions en b2 = 2, ou b = racine carrée de 2, ce qui équivaut à environ 1,41. La fonction de définition est alors y = 2 (1,41)X.
Aucun point sur l'axe X
Si aucune des valeurs x n'est nulle, la résolution de la paire d'équations est légèrement plus fastidieuse. Hénochmath nous guide à travers un exemple simple pour clarifier cette procédure. Dans son exemple, il a choisi la paire de points (2, 3) et (4, 27). Cela donne la paire d'équations suivante :
27 = ab4
3 = ab2
Si vous divisez la première équation par la seconde, vous obtenez
9 = b2
donc b = 3. Il est possible que b soit également égal à -3, mais dans ce cas, supposons qu'il soit positif.
Vous pouvez remplacer cette valeur par b dans l'une ou l'autre équation pour obtenir a. Il est plus facile d'utiliser la deuxième équation, donc :
3 = un (3)2 qui peut être simplifié en 3 = a9, a = 3/9 ou 1/3.
L'équation qui passe par ces points peut s'écrire sous la forme y = 1/3(3)X.
Un exemple du monde réel
Depuis 1910, la croissance de la population humaine est exponentielle et en traçant une courbe de croissance, les scientifiques sont mieux placés pour prédire et planifier l'avenir. En 1910, la population mondiale était de 1,75 milliard et en 2010, elle était de 6,87 milliards. En prenant 1910 comme point de départ, cela donne le couple de points (0, 1,75) et (100, 6,87). Parce que la valeur x du premier point est zéro, nous pouvons facilement trouver a.
1,75 = ab0 ou a = 1,75. Le fait de brancher cette valeur, ainsi que celles du deuxième point, dans l'équation exponentielle générale produit 6,87 = 1,75b100, ce qui donne la valeur de b comme racine centième de 6,87/1,75 ou 3,93. L'équation devient donc y = 1,75 (racine centième de 3,93)X. Bien qu'il faille plus qu'une règle à calcul pour le faire, les scientifiques peuvent utiliser cette équation pour projeter les futurs chiffres de la population afin d'aider les politiciens du présent à créer des politiques appropriées.