En mathématiques, le besoin surgit parfois de prouver si les fonctions sont dépendantes ou indépendantes les unes des autres dans un sens linéaire. Si vous avez deux fonctions linéairement dépendantes, la représentation graphique des équations de ces fonctions génère des points qui se chevauchent. Les fonctions avec des équations indépendantes ne se chevauchent pas lorsqu'elles sont représentées graphiquement. Une méthode pour déterminer si les fonctions sont dépendantes ou indépendantes consiste à calculer le Wronskian pour les fonctions.
Qu'est-ce qu'un Wronskian ?
Le Wronskian de deux ou plusieurs fonctions est ce qu'on appelle un déterminant, qui est une fonction spéciale utilisée pour comparer des objets mathématiques et prouver certains faits à leur sujet. Dans le cas du Wronskian, le déterminant est utilisé pour prouver la dépendance ou l'indépendance entre deux ou plusieurs fonctions linéaires.
La matrice de Wronsk
Pour calculer le Wronskian pour les fonctions linéaires, les fonctions doivent être résolues pour la même valeur dans une matrice qui contient à la fois les fonctions et leurs dérivées. Un exemple de ceci est
W(f, g)(t)=\begin{vmatrice} f (t) & g (t) \\ f'(t) & g'(t) \end{vmatrice}
qui fournit le Wronskian pour deux fonctions (Fetg) qui sont résolus pour une valeur unique supérieure à zéro (t); vous pouvez voir les deux fonctionsF(t) etg(t) dans la rangée supérieure de la matrice, et les dérivéesF'(t) etg'(t) dans la rangée du bas. Notez que le Wronskian peut également être utilisé pour de plus grands ensembles. Si, par exemple, vous testez trois fonctions avec un Wronskian, vous pouvez alors remplir une matrice avec les fonctions et les dérivées deF(t), g(t) eth(t).
Résoudre le Wronskian
Une fois que vous avez disposé les fonctions dans une matrice, multipliez chaque fonction par la dérivée de l'autre fonction et soustrayez la première valeur de la seconde. Pour l'exemple ci-dessus, cela vous donne
W(f, g)(t) = f (t) g'(t) - g (t) f'(t)
Si la réponse finale est égale à zéro, cela montre que les deux fonctions sont dépendantes. Si la réponse est autre que zéro, les fonctions sont indépendantes.
Exemple de Wronskian
Pour vous donner une meilleure idée de la façon dont cela fonctionne, supposons que
f (t) = x + 3 \text{ et } g (t) = x - 2
En utilisant une valeur det= 1, vous pouvez résoudre les fonctions comme
f (1) = 4 \text{ et } g (1) = -1
Comme ce sont des fonctions linéaires de base avec une pente de 1, les dérivées des deuxF(t) etg(t) est égal à 1. La multiplication croisée de vos valeurs donne à
W(f, g)(1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
ce qui donne un résultat final de 5. Bien que les fonctions linéaires aient toutes deux la même pente, elles sont indépendantes car leurs points ne se chevauchent pas. SiF(t) avait produit un résultat de -1 au lieu de 4, le Wronskian aurait donné un résultat de zéro à la place pour indiquer la dépendance.