Lorsque vous commencez avec trois équations et trois inconnues (variables), vous pouvez penser que vous disposez de suffisamment d'informations pour résoudre toutes les variables. Cependant, lors de la résolution d'un système d'équations linéaires en utilisant la méthode d'élimination, vous pouvez constater que le système n'est pas suffisamment déterminé pour trouver une réponse unique, et à la place un nombre infini de solutions est possible. Cela se produit lorsque les informations contenues dans l'une des équations du système sont redondantes par rapport aux informations contenues dans les autres équations.
Un exemple 2x2
3x+2y=5 6x+4y=10 Ce système d'équations est clairement redondant. Vous pouvez créer une équation à partir de l'autre en multipliant simplement par une constante. En d'autres termes, ils véhiculent la même information. Bien qu'il y ait deux équations pour les deux inconnues, x et y, la solution de ce système ne peut pas être réduite à une valeur pour x et une valeur pour y. (x, y)=(1,1) et (5/3,0) le résolvent tous les deux, comme le font de nombreuses autres solutions. C'est le genre de « problème », cette insuffisance d'informations, qui conduit également à un nombre infini de solutions dans de plus grands systèmes d'équations.
Un exemple 3x3
x+y+z=10 x-y+z=0 x_+_z=5 [Les traits de soulignement sont utilisés simplement pour maintenir l'espacement.] Par la méthode d'élimination, éliminez x de la deuxième rangée en soustrayant la deuxième rangée de la première, ce qui donne x+y+z=10 _2y=10 x_+z=5 Éliminez x de la troisième ligne en soustrayant la troisième ligne de la première. x+y+z=10 _2y=10 oui=5 Il est clair que les deux dernières équations sont équivalentes. y est égal à 5, et la première équation peut être simplifiée en éliminant y. x+5+z=10 y__=5 ou x+z=5 y=5 Notez que la méthode d'élimination ne produira pas une belle forme triangulaire ici, comme c'est le cas lorsqu'il existe une solution unique. Au lieu de cela, la dernière équation (sinon plus) sera elle-même absorbée dans les autres équations. Le système est maintenant de trois inconnues et seulement deux équations. Le système est dit « sous-déterminé », car il n'y a pas assez d'équations pour déterminer la valeur de toutes les variables. Une infinité de solutions sont possibles.
Comment écrire la solution infinie
La solution infinie pour le système ci-dessus peut être écrite en termes d'une variable. Une façon de l'écrire est (x, y, z)=(x, 5,5-x). Puisque x peut prendre un nombre infini de valeurs, la solution peut prendre un nombre infini de valeurs.