La factorisation des polynômes aide les mathématiciens à déterminer les zéros, ou les solutions, d'une fonction. Ces zéros indiquent des changements critiques dans les taux croissants et décroissants et simplifient généralement le processus d'analyse. Pour les polynômes de degré trois ou plus, ce qui signifie que l'exposant le plus élevé sur la variable est un trois ou plus, la factorisation peut devenir plus fastidieuse. Dans certains cas, les méthodes de regroupement raccourcissent l'arithmétique, mais dans d'autres cas, vous devrez peut-être en savoir plus sur la fonction, ou le polynôme, avant de poursuivre l'analyse.
Analysez le polynôme pour envisager la factorisation par regroupement. Si le polynôme est sous la forme où la suppression du plus grand facteur commun (GCF) de la les deux premiers termes et les deux derniers termes révèlent un autre facteur commun, vous pouvez utiliser le regroupement méthode. Par exemple, soit F(x) = x³ – x² – 4x + 4. Lorsque vous supprimez le GCF des deux premiers et derniers termes, vous obtenez ce qui suit: x²(x – 1) – 4 (x – 1). Vous pouvez maintenant retirer (x – 1) de chaque partie pour obtenir (x² – 4) (x – 1). En utilisant la méthode de la « différence de carrés », vous pouvez aller plus loin: (x – 2) (x + 2) (x – 1). Une fois que chaque facteur est dans sa forme principale ou non factorisable, vous avez terminé.
Recherchez une différence ou une somme de cubes. Si le polynôme n'a que deux termes, chacun avec un cube parfait, vous pouvez le factoriser en fonction de formules cubiques connues. Pour les sommes, (x³ + y³) = (x + y) (x² – xy + y²). Pour les différences, (x³ – y³) = (x – y) (x² + xy + y²). Par exemple, soit G(x) = 8x³ – 125. Ensuite, la factorisation de ce polynôme du troisième degré repose sur une différence de cubes comme suit: (2x – 5) (4x² + 10x + 25), où 2x est la racine cubique de 8x³ et 5 est la racine cubique de 125. Parce que 4x² + 10x + 25 est premier, vous avez terminé l'affacturage.
Voyez s'il existe un GCF contenant une variable qui peut réduire le degré du polynôme. Par exemple, si H(x) = x³ - 4x, en factorisant le GCF de "x", vous obtiendrez x (x² - 4). Ensuite, en utilisant la technique de la différence de carrés, vous pouvez décomposer davantage le polynôme en x (x – 2) (x + 2).
Utiliser des solutions connues pour réduire le degré du polynôme. Par exemple, soit P(x) = x³ – 4x² – 7x + 10. Comme il n'y a pas de GCF ou de différence/somme de cubes, vous devez utiliser d'autres informations pour factoriser le polynôme. Une fois que vous avez découvert que P(c) = 0, vous savez que (x – c) est un facteur de P(x) basé sur le "théorème du facteur" de l'algèbre. Par conséquent, trouvez un tel "c". Dans ce cas, P(5) = 0, donc (x – 5) doit être un facteur. En utilisant une division synthétique ou longue, vous obtenez un quotient de (x² + x – 2), qui se divise en (x – 1) (x + 2). Par conséquent, P(x) = (x – 5) (x – 1) (x + 2).