Comment trouver l'inverse d'une fonction

Pour trouver une fonction inverse en mathématiques, vous devez d'abord avoir une fonction. Il peut s'agir de presque n'importe quel ensemble d'opérations pour la variable indépendanteXqui donne une valeur pour la variable dépendanteoui. En général, pour déterminer l'inverse d'une fonction deX, remplacerouipourXetXpourouidans la fonction, puis résoudre pourX​.

TL; DR (trop long; n'a pas lu)

En général, pour trouver l'inverse d'une fonction deX, remplacerouipourXetXpourouidans la fonction, puis résoudre pourX​.

Fonction inverse définie

La définition mathématique d'une fonction est une relation (X​, ​oui) pour laquelle une seule valeur deouiexiste pour toute valeur deX. Par exemple, lorsque la valeur deXest 3, la relation est une fonction siouin'a qu'une seule valeur, par exemple 10. L'inverse d'une fonction prend laouivaleurs de la fonction d'origine comme les siennesXvaleurs et produitouivaleurs qui sont la fonction d'origineXvaleurs. Par exemple, si la fonction d'origine renvoyait leouivaleurs 1, 3 et 10 lorsque son

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Xvariable avait les valeurs 0, 1 et 2, la fonction inverse renverraitouivaleurs 0, 1 et 2 lorsque sonXvariable avait les valeurs 1, 3 et 10. Essentiellement, une fonction inverse échange leXetouivaleurs de l'original. En langage mathématique, si la fonction d'origine est f(X) et l'inverse est g(X), ensuite

g (f(x)) = x

Approche algébrique pour la fonction inverse

Pour trouver l'inverse d'une fonction impliquant les deux variables,Xetoui, remplace leXtermes avecouiet leouitermes avecX, et résoudre pourX. A titre d'exemple, prenons l'équation linéaire,oui​ = 7​X​ − 15.

y = 7x - 15 \quad \text{(Fonction d'origine)} \\ \,\\ x = 7y - 15 \quad \text{(Remplacer y par x et x par y)}\\ \,\\ x + 15 = 7y - 15 + 15 \quad \text{(Ajouter 15 aux deux côtés.)} \\ \,\\ x + 15 = 7y \quad \text{(Simplifier)} \\ \,\\ \frac{x + 15}{7} = \frac{7y}{7} \ quad\text{(Diviser les deux côtés par 7.)} \\ \,\\ \frac{x + 15}{7} = y \quad\text{(simplifier)}

La fonction, (X​ + 15) / 7 = ​ouiest l'inverse de l'original.

Fonctions trigonométriques inverses

Pour trouver l'inverse d'une fonction trigonométrique, il est utile de connaître toutes les fonctions trigonométriques et leurs inverses. Par exemple, si vous voulez trouver l'inverse deoui= péché(X), vous devez savoir que l'inverse de la fonction sinus est la fonction arcsinus; aucune algèbre simple ne vous y mènera sans arcsin(X). Les autres fonctions trigonométriques, cosinus, tangente, cosécante, sécante et cotangente, ont respectivement les fonctions inverses arccosinus, arctangente, arccosécante, arcsécante et arccotangente. Par exemple, l'inverse deoui= cos(X) estoui= arccos(X​).

Graphique de fonction et inverse 

Le graphique d'une fonction et de son inverse est intéressant. Lorsque vous tracez les deux courbes, puis tracez une ligne correspondant à la fonction,oui​ = ​X, vous remarquerez que la ligne apparaît comme un « miroir ». Toute courbe ou ligne ci-dessousoui​ = ​Xse « réfléchit » symétriquement au-dessus d'elle. Ceci est vrai pour n'importe quelle fonction, qu'elle soit polynomiale, trigonométrique, exponentielle ou linéaire. En utilisant ce principe, vous pouvez illustrer graphiquement l'inverse d'une fonction en traçant le graphique de la fonction d'origine, en traçant la ligne àoui​ = ​X, puis en dessinant les courbes ou les lignes nécessaires pour créer une « image miroir » qui aoui​ = ​Xcomme axe de symétrie.

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