Résoudre des fonctions polynomiales est une compétence clé pour quiconque étudie les mathématiques ou la physique, mais maîtriser le processus - en particulier lorsqu'il s'agit de fonctions d'ordre supérieur - peut être assez difficile. Une fonction cubique est l'un des types d'équations polynomiales les plus difficiles que vous devrez peut-être résoudre à la main. Bien que cela ne soit pas aussi simple que de résoudre une équation quadratique, il existe plusieurs méthodes vous pouvez utiliser pour trouver la solution d'une équation cubique sans avoir recours à des pages et des pages de détails algèbre.
Qu'est-ce qu'une fonction cubique ?
Une fonction cubique est un polynôme du troisième degré. Une fonction polynomiale générale a la forme :
f (x) = ax^n +bx^{n-1} + cx^{n-2}... vx^3+wx^2+zx+k
Ici, X est la variable, m est simplement n'importe quel nombre (et le degré du polynôme), k est une constante et les autres lettres sont des coefficients constants pour chaque puissance de X. Donc une fonction cubique a m = 3, et est simplement :
f (x) = ax^3 +bx^2 + cx^1+d
Où dans ce cas, ré est la constante. De manière générale, lorsque vous devez résoudre une équation cubique, elle vous est présentée sous la forme :
ax^3 +bx^2 + cx^1+d = 0
Chaque solution pour X est appelée « racine » de l'équation. Les équations cubiques ont soit une racine réelle, soit trois, bien qu'elles puissent être répétées, mais il y a toujours au moins une solution.
Le type d'équation est défini par la puissance la plus élevée, donc dans l'exemple ci-dessus, ce ne serait pas une équation cubique si a = 0, car le terme de puissance la plus élevée serait bx2 et ce serait une équation quadratique. Cela signifie que les éléments suivants sont toutes des équations cubiques :
2x^3 + 3x^2 + 6x −9 = 0 \\ x^3 −9x + 1 = 0\\ x^3 −15x^2 = 0
Résolution à l'aide du théorème des facteurs et de la division synthétique
La façon la plus simple de résoudre une équation cubique implique un peu de conjectures et un type de processus algorithmique appelé division synthétique. Le début, cependant, est fondamentalement le même que la méthode d'essai et d'erreur pour les solutions d'équations cubiques. Essayez de deviner quelle est l'une des racines. Si vous avez une équation où le premier coefficient, une, est égal à 1, alors il est un peu plus facile de deviner l'une des racines, car ce sont toujours des facteurs du terme constant qui est représenté ci-dessus par ré.
Ainsi, en regardant l'équation suivante, par exemple :
x^3 − 5x^2 − 2x + 24 = 0
Vous devez deviner l'une des valeurs pour X, mais depuis une = 1 dans ce cas, vous savez que quelle que soit la valeur, elle doit être un facteur de 24. Le premier de ces facteurs est 1, mais cela laisserait :
1 – 5 – 2 + 24 = 18
Ce qui n'est pas zéro, et -1 laisserait :
−1 – 5 + 2 + 24 = 20
Ce qui encore n'est pas nul. Suivant, X = 2 donnerait :
8 – 20 – 4 + 24 = 8
Encore un échec. En essayant X = −2 donne :
−8 – 20 + 4 + 24 = 0
Ça signifie X = −2 est une racine de l'équation cubique. Cela montre les avantages et les inconvénients de la méthode d'essai et d'erreur: vous pouvez obtenir la réponse sans trop pensée, mais cela prend du temps (surtout si vous devez aller à des facteurs plus élevés avant de trouver une racine). Heureusement, lorsque vous avez trouvé une racine, vous pouvez facilement résoudre le reste de l'équation.
La clé est d'incorporer le théorème des facteurs. Celui-ci indique que si X = s est une solution, alors (X – s) est un facteur qui peut être retiré de l'équation. Pour cette situation, s = -2, et donc (X + 2) est un facteur que nous pouvons retirer pour partir :
(x + 2) (x^2 + ax + b) = 0
Les termes du deuxième groupe de parenthèses ont la forme d'une équation quadratique, donc si vous trouvez les valeurs appropriées pour une et b, l'équation peut être résolue.
Ceci peut être accompli en utilisant la division synthétique. Tout d'abord, notez les coefficients de l'équation d'origine sur la rangée supérieure d'un tableau, avec une ligne de séparation, puis la racine connue à droite :
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & & & & \\ \hline & & & & \end{array}
Laissez une ligne de rechange, puis ajoutez une ligne horizontale en dessous. Tout d'abord, prenez le premier nombre (1 dans ce cas) jusqu'à la ligne en dessous de votre ligne horizontale
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & & & & \\ \hline 1 & & & & \end{array }
Maintenant, multipliez le nombre que vous venez de réduire par la racine connue. Dans ce cas, 1 × −2 = −2, et cela est écrit sous le prochain numéro de la liste, comme suit :
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & & & & \end {déployer}
Ajoutez ensuite les nombres dans la deuxième colonne et placez le résultat sous la ligne horizontale :
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & -7 & & & \end{tableau}
Répétez maintenant le processus que vous venez de suivre avec le nouveau nombre sous la ligne horizontale: Multipliez par le root, mettez la réponse dans l'espace vide de la colonne suivante, puis ajoutez la colonne pour obtenir un nouveau nombre sur la rangée du bas. Cela laisse :
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & & \\ \hline 1 & -7 & 12 & & \end{tableau}
Et puis reprenez le processus une dernière fois.
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & -24 & \\ \hline 1 & -7 & 12 & 0 & \end{tableau}
Le fait que la dernière réponse soit zéro vous indique que vous avez une racine valide, donc si ce n'est pas zéro, alors vous avez fait une erreur quelque part.
Maintenant, la rangée du bas vous indique les facteurs des trois termes du deuxième ensemble de parenthèses, vous pouvez donc écrire :
(x^2 − 7x + 12) = 0
Et donc:
(x+2)(x^2 − 7x + 12) = 0
C'est l'étape la plus importante de la solution, et vous pouvez terminer à partir de ce point de plusieurs manières.
Factorisation de polynômes cubiques
Une fois que vous avez supprimé un facteur, vous pouvez trouver une solution en utilisant la factorisation. À partir de l'étape ci-dessus, il s'agit essentiellement du même problème que la factorisation d'une équation quadratique, ce qui peut être difficile dans certains cas. Cependant, pour l'expression :
(x^2 − 7x + 12)
Si vous vous souvenez que les deux nombres que vous avez mis entre parenthèses doivent être additionnés pour donner le deuxième coefficient (7) et multipliés pour donner le troisième (12), il est assez facile de voir que dans ce cas :
(x^2 − 7x + 12) = (x – 3) (x – 4)
Vous pouvez multiplier cela pour vérifier, si vous le souhaitez. Ne vous découragez pas si vous ne pouvez pas voir la factorisation immédiatement; cela demande un peu de pratique. Cela laisse l'équation d'origine comme suit :
(x + 2) (x – 3) (x – 4) = 0
Que vous pouvez voir immédiatement a des solutions à X = −2, 3 et 4 (qui sont tous des facteurs de 24, la constante d'origine). En théorie, il peut également être possible de voir l'ensemble de la factorisation à partir de la version originale de l'équation, mais c'est beaucoup plus difficile, il est donc préférable de trouver une solution à partir d'essais et d'erreurs et d'utiliser l'approche ci-dessus avant d'essayer de repérer un factorisation.
Si vous avez du mal à voir la factorisation, vous pouvez utiliser la formule de l'équation quadratique :
x={-b\pm\sqrt{b^2 – 4ac}\above{1pt}2a}
Pour trouver les solutions restantes.
Utiliser la formule cubique
Bien qu'il soit beaucoup plus gros et moins simple à gérer, il existe un simple solveur d'équation cubique sous la forme de la formule cubique. C'est comme la formule d'équation quadratique en ce sens que vous entrez simplement vos valeurs de une, b, c et ré pour obtenir une solution, mais c'est juste beaucoup plus long.
Il précise que :
x = (q + [q^2 + (r−p^2)^3]^{1/2})^{1/3} + (q − [q^2 + (r−p^2)^ 3]^{1/2})^{1/3} + p
où
p = {−b \above{1pt}3a}
q = p^3 + {bc−3ad \above{1pt}6a^2}
et
r = {c \above{1pt}3a}
L'utilisation de cette formule prend du temps, mais si vous ne souhaitez pas utiliser la méthode d'essais et d'erreurs pour les solutions d'équations cubiques, puis la formule quadratique, cela fonctionne lorsque vous parcourez tout cela.