Une distribution binomiale décrit une variable X si 1) il y a un nombre fixe m observations de la variable; 2) toutes les observations sont indépendantes les unes des autres; 3) la probabilité de réussite p est le même pour chaque observation; et 4) chaque observation représente exactement l'un des deux résultats possibles (d'où le mot « binôme » – pensez « binaire »). Cette dernière qualification distingue les distributions binomiales des distributions de Poisson, qui varient de façon continue plutôt que discrète.
Une telle distribution peut s'écrire B(m, p).
Calcul de la probabilité d'une observation donnée
Dire une valeur k se trouve quelque part le long du graphique de la distribution binomiale, qui est symétrique par rapport à la moyenne np. Pour calculer la probabilité qu'une observation ait cette valeur, cette équation doit être résolue :
P(X = k) = (n: k) p^k (1-p)^{n-k}
où
(n: k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
Le "!" signifie une fonction factorielle, par exemple, 27! = 27 × 26 × 25 ×... × 3 × 2 × 1.
Exemple
Supposons qu'un joueur de basket effectue 24 lancers francs et ait un taux de réussite établi de 75 % (p = 0.75). Quelles sont les chances qu'elle réussisse exactement 20 de ses 24 coups ?
Calculez d'abord (m: k) comme suit:
\frac{n!}{k!(n - k)!} = \frac{24!}{ (20!)(4!)} = 10 626 \\
pk = 0,75^{20} = 0,00317
(1-p)^{n-k} = (0,25)^4 = 0,00390
Ainsi
P(20) = 10 626 × 0,00317 × 0,00390 = 0,1314
Ce joueur a donc 13,1 % de chances de réussir exactement 20 lancers francs sur 24, ce que l'intuition pourrait suggèrent à propos d'un joueur qui frapperait généralement 18 des 24 lancers francs (en raison de son taux de réussite établi de 75 pour cent).