Quiconque a déjà joué au billard connaît la loi de conservation de la quantité de mouvement, qu'il s'en rende compte ou non.
La loi de conservation de la quantité de mouvement est fondamentale pour comprendre et prédire ce qui se passe lorsque des objets interagissent ou entrent en collision. Cette loi prédit les mouvements des boules de billard et c'est ce qui décide si cette boule huit arrive dans la poche du coin ou non.
Qu'est-ce que l'élan ?
La quantité de mouvement est définie comme le produit de la masse et de la vitesse d'un objet. Sous forme d'équation, cela est souvent écrit commep = mv.
C'est une quantité vectorielle, ce qui signifie qu'une direction lui est associée. La direction du vecteur impulsion d'un objet est la même direction que son vecteur vitesse.
La quantité de mouvement d'un système isolé est la somme des quantités de mouvement de chaque objet individuel dans ce système. Un système isolé est un système d'objets en interaction qui n'interagissent d'aucune manière avec quoi que ce soit d'autre. En d'autres termes, il n'y a aucune force externe nette agissant sur le système.
L'étude de la quantité de mouvement totale dans un système isolé est importante car elle vous permet de prédire ce qui arrivera aux objets du système lors de collisions et d'interactions.
Quelles sont les lois de conservation?
Avant de se lancer dans la compréhension de la loi de conservation de la quantité de mouvement, il est important de comprendre ce que l'on entend par « quantité conservée ».
Conserver quelque chose signifie en empêcher le gaspillage ou la perte d'une manière ou d'une autre. En physique, une quantité est dite conservée si elle reste constante. Vous avez peut-être entendu l'expression en rapport avec la conservation de l'énergie, qui est la notion que l'énergie ne peut être ni créée ni détruite, mais change seulement de forme. Par conséquent, le montant total de celui-ci reste constant.
Lorsque nous parlons de conservation de la quantité de mouvement, nous parlons de la quantité totale de quantité de mouvement restant constante. Cette quantité de mouvement peut être transférée d'un objet à un autre au sein d'un système isolé et toujours considérée comme conservée si la quantité de mouvement totale dans ce système ne change pas.
La deuxième loi du mouvement de Newton et la loi de conservation de la quantité de mouvement
La loi de conservation de la quantité de mouvement peut être dérivée de la deuxième loi du mouvement de Newton. Rappelons que cette loi relie la force nette, la masse et l'accélération d'un objet commeFrapporter = ma.
L'astuce ici est de considérer cette force nette comme agissant sur un système dans son ensemble. La loi de conservation de la quantité de mouvement s'applique lorsque la force nette sur le système est 0. Cela signifie que, pour chaque objet du système, les seules forces qui peuvent être exercées sur lui doivent provenir d'autres objets du système, ou bien être annulées d'une manière ou d'une autre.
Les forces externes peuvent être le frottement, la gravité ou la résistance de l'air. Ceux-ci doivent soit ne pas agir, soit être contrecarrés afin de rendre la force nette sur le système 0.
Vous pouvez commencer la dérivation avec la déclarationFrapporter = ma = 0.
lemdans ce cas est la masse de l'ensemble du système. L'accélération en question est l'accélération nette du système, qui fait référence à l'accélération du centre de masse du système (le centre de masse est l'emplacement moyen de l'ensemble du système Masse.)
Pour que la force nette soit égale à 0, l'accélération doit également être égale à 0. Étant donné que l'accélération est le changement de vitesse au fil du temps, cela implique que la vitesse ne doit pas changer. Autrement dit, la vitesse est constante. D'où l'on obtient l'énoncé quemvcm= constante.
Oùvcmest la vitesse du centre de masse, donnée par la formule :
v_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2 + ...}{m_1 + m_2 + ...}
Alors maintenant, la déclaration se réduit à:
m_1v_1 + m_2v_2 +... = \text{constant}
C'est l'équation qui décrit la conservation de la quantité de mouvement. Chaque terme est la quantité de mouvement de l'un des objets du système, et la somme de toutes les quantités de mouvement doit être constante. Une autre façon d'exprimer cela est de dire :
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} +... = m_1v_{1f} + m_2v_{2f} + ...
Où l'indicejefait référence aux valeurs initiales etFaux valeurs finales, se produisant généralement avant et après une sorte d'interaction, telle qu'une collision entre les objets d'un système.
Collisions élastiques et inélastiques
La raison pour laquelle la loi de conservation de la quantité de mouvement est importante est qu'elle peut vous permettre de résoudre pour un vitesse finale inconnue ou similaire pour les objets dans un système isolé qui pourraient entrer en collision avec chacun autre.
Une telle collision peut se produire de deux manières principales: élastiquement ou inélastiquement.
Une collision parfaitement élastique est une collision dans laquelle les objets en collision rebondissent les uns sur les autres. Ce type de collision se caractérise par la conservation de l'énergie cinétique. L'énergie cinétique d'un objet est donnée par la formule :
KE = \frac{1}{2}mv^2
Si l'énergie cinétique est conservée, la somme des énergies cinétiques de tous les objets du système doit rester constante avant et après toute collision. L'utilisation de la conservation de l'énergie cinétique avec la conservation de la quantité de mouvement peut vous permettre de résoudre plus d'une vitesse finale ou initiale dans un système en collision.
Une collision parfaitement inélastique est une collision dans laquelle, lorsque deux objets entrent en collision, se collent l'un à l'autre et se déplacent ensuite comme une masse singulière. Cela peut également simplifier un problème car vous n'avez besoin de déterminer qu'une vitesse finale au lieu de deux.
Alors que la quantité de mouvement est conservée dans les deux types de collisions, l'énergie cinétique n'est conservée que dans une collision élastique. La plupart des collisions réelles ne sont ni parfaitement élastiques ni parfaitement inélastiques, mais se situent quelque part entre les deux.
Conservation du moment angulaire
Ce qui a été décrit dans la section précédente est la conservation de la quantité de mouvement linéaire. Il existe un autre type de moment qui s'applique au mouvement de rotation et qui est appelé moment angulaire.
Tout comme pour le moment linéaire, le moment angulaire est également conservé. Le moment angulaire dépend de la masse d'un objet ainsi que de la distance qui sépare cette masse d'un axe de rotation.
Lorsqu'un patineur artistique tourne, vous le verrez tourner plus vite en rapprochant ses bras de son corps. En effet, leur moment cinétique n'est conservé que si leur vitesse de rotation augmente proportionnellement à la proximité avec laquelle ils rapprochent leurs bras de leur centre.
Exemples de problèmes de conservation de l'élan
Exemple 1:Deux boules de billard de masse égale roulent l'une vers l'autre. L'un se déplace à une vitesse initiale de 2 m/s et l'autre se déplace à une vitesse de 4 m/s. Si leur collision est parfaitement élastique, quelle est la vitesse finale de chaque boule ?
Solution 1 :Il est important lors de la résolution de ce problème de choisir un système de coordonnées. Puisque tout se passe en ligne droite, vous pouvez décider que le mouvement vers la droite est positif et le mouvement vers la gauche est négatif. Supposons que la première balle se déplace vers la droite à 2 m/s. La vitesse de la deuxième boule est alors de -4m/s.
Écrivez une expression pour la quantité de mouvement totale du système avant la collision, ainsi que l'énergie cinétique totale du système avant la collision :
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} \\ \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2
Insérez des valeurs pour obtenir une expression pour chacune :
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} = 2m - 4m = -2m \\ \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2 = \frac {1}{2}m (2)^2 + \frac{1}{2}m(-4)^2 = 10m
Notez que puisque vous n'avez pas reçu de valeurs pour les masses, elles restent inconnues, bien que les deux masses soient les mêmes, ce qui a permis une certaine simplification.
Après la collision, les expressions de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique sont :
mv_{1f} + mv_{2f} \\ \frac{1}{2}mv_{1f}^2 + \frac{1}{2}mv_{2f}^2
En fixant les valeurs initiales égales aux valeurs finales de chacun, vous pouvez annuler les masses. Vous vous retrouvez alors avec un système de deux équations et de deux quantités inconnues :
mv_{1f} + mv_{2f} = -2m \implique v_{1f} + v{2f} = -2 \\ \frac{1}{2}mv_{1f}^2 + \frac{1}{2 }mv_{2f}^2 = 10m \implique v_{1f}^2 + v{2f}^2 = 20
La résolution algébrique du système donne les solutions suivantes :
v_{if} = -4 \text{ m/s} v_{2f} = 2 \text{ m/s}
Vous remarquerez que parce que les deux balles avaient la même masse, elles ont essentiellement échangé des vitesses.
Exemple 2 :Une voiture de 1 200 kg voyageant vers l'est à 20 miles par heure entre en collision frontale avec un camion de 3 000 kg voyageant vers l'ouest à 15 miles par heure. Les deux véhicules collent ensemble lorsqu'ils entrent en collision. Avec quelle vitesse finale se déplacent-ils ?
Solution 2 :Une chose à noter à propos de ce problème particulier sont les unités. Les unités SI pour la quantité de mouvement sont le kg⋅m/s. Cependant, on vous donne la masse en kg et les vitesses en miles par heure. Notez que tant que toutes les vitesses sont dans des unités cohérentes, aucune conversion n'est nécessaire. Lorsque vous résolvez la vitesse finale, votre réponse sera en miles par heure.
La quantité de mouvement initiale du système peut être exprimée par :
m_cv_{ci} + m_tv_{ti} = 1200 \times 20 - 3000 \times 15 = -21 000 \text{ kg}\times\text{mph}
La quantité de mouvement finale du système peut être exprimée par :
(m_c + m_t) v_f = 4200v_f
La loi de conservation de la quantité de mouvement vous dit que ces valeurs initiales et finales doivent être égales. Vous pouvez résoudre la vitesse finale en définissant la quantité de mouvement initiale égale à la quantité de mouvement finale, en résolvant la vitesse finale comme suit :
4200v_f = -21 000 \implique v_f = \frac{-21000}{4200} = -5 \text{ mph}
Exemple 3 :Montrez que l'énergie cinétique n'a pas été conservée dans la question précédente concernant la collision inélastique entre la voiture et le camion.
Solution 3 :L'énergie cinétique initiale de ce système était :
\frac{1}{2}m_cv_{ci}^2 + \frac{1}{2}m_tv_{ti}^2 = \frac{1}{2}(1200)(20)^2 + \frac{ 1}{2}(3000)(15)^2 = 557 500 \text{ kg (mph)}^2
L'énergie cinétique finale du système était :
\frac{1}{2}(m_c + m_t) v_f^2 = \frac{1}{2}(1200 + 3000)5^2 = 52 500 \text{ kg (mph)}^2
Étant donné que l'énergie cinétique totale initiale et l'énergie cinétique finale totale ne sont pas égales, vous pouvez conclure que l'énergie cinétique n'a pas été conservée.