L'équation de Schrödinger est l'équation la plus fondamentale de la mécanique quantique, et apprendre à l'utiliser et ce qu'elle signifie est essentiel pour tout physicien en herbe. L'équation porte le nom d'Erwin Schrödinger, qui a remporté le prix Nobel avec Paul Dirac en 1933 pour leurs contributions à la physique quantique.
L'équation de Schrödinger décrit la fonction d'onde d'un système de mécanique quantique, ce qui donne informations probabilistes sur l'emplacement d'une particule et d'autres quantités observables telles que sa élan. La chose la plus importante que vous réaliserez à propos de la mécanique quantique après avoir appris l'équation est que les lois du domaine quantique sonttrès différentde ceux de la mécanique classique.
La fonction d'onde
La fonction d'onde est l'un des concepts les plus importants de la mécanique quantique, car chaque particule est représentée par une fonction d'onde. On lui donne généralement la lettre grecque psi (Ψ), et cela dépend de la position et de l'heure. Lorsque vous avez une expression pour la fonction d'onde d'une particule, elle vous dit tout ce que l'on peut savoir sur le système physique, et différentes valeurs pour les quantités observables peuvent être obtenues en appliquant un opérateur à il.
Le carré du module de la fonction d'onde vous indique la probabilité de trouver la particule à une positionXà un moment donnét. Ce n'est le cas que si la fonction est «normalisée», ce qui signifie que la somme du module carré sur tous les emplacements possibles doit être égale à 1, c'est-à-dire que la particule estcertainêtre localiséquelque part.
Notez que la fonction d'onde ne fournit que des informations probabilistes, et vous ne pouvez donc pas prédire le résultat d'une observation, même si vouspouvezdéterminer la moyenne sur de nombreuses mesures.
Vous pouvez utiliser la fonction d'onde pour calculer le« valeur attendue »pour la position de la particule au tempst, la valeur attendue étant la valeur moyenne deXvous obtiendriez si vous répétiez la mesure plusieurs fois.
Encore une fois, cela ne vous dit rien sur une mesure particulière. En fait, la fonction d'onde est plus une distribution de probabilité pour une seule particule que quelque chose de concret et fiable. En utilisant l'opérateur approprié, vous pouvez également obtenir des valeurs attendues pour la quantité de mouvement, l'énergie et d'autres quantités observables.
L'équation de Schrödinger
L'équation de Schrödinger est une équation différentielle partielle linéaire qui décrit l'évolution d'un état quantique d'une manière similaire aux lois de Newton (la deuxième loi en particulier) en classique mécanique.
Cependant, l'équation de Schrödinger est une équation d'onde pour la fonction d'onde de la particule en question, et donc l'utilisation de l'équation pour prédire l'état futur d'un système est parfois appelée « mécanique ondulatoire ». L'équation elle-même découle de la conservation de l'énergie et est construite autour d'un opérateur appelé le Hamiltonien.
La forme la plus simple de l'équation de Schrödinger à écrire est :
H Ψ = iℏ \frac{\partialΨ}{\partial t}
Où est la constante de Planck réduite (c'est-à-dire la constante divisée par 2π) etHest l'opérateur hamiltonien, qui correspond à la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique (énergie totale) du système quantique. L'hamiltonien est une expression assez longue elle-même, cependant, l'équation complète peut être écrite comme suit :
−\frac{ ℏ^2}{2m} \frac{\partial^2 Ψ}{\partial x^2} + V(x) Ψ == iℏ \frac{\partialΨ}{\partial t}
Notant que parfois (pour des problèmes explicitement tridimensionnels), la première dérivée partielle s'écrit comme l'opérateur laplacien ∇2. Essentiellement, l'hamiltonien agit sur la fonction d'onde pour décrire son évolution dans l'espace et le temps. Mais dans la version indépendante du temps de l'équation (c'est-à-dire lorsque le système ne dépend pas det), l'hamiltonien donne l'énergie du système.
Résoudre l'équation de Schrödinger, c'est trouver lefonction d'onde mécanique quantiquequi le satisfait pour une situation particulière.
L'équation de Schrödinger dépendante du temps
L'équation de Schrödinger dépendante du temps est la version de la section précédente, et elle décrit l'évolution de la fonction d'onde pour une particule dans le temps et l'espace. Un cas simple à considérer est une particule libre car l'énergie potentielleV= 0, et la solution prend la forme d'une onde plane. Ces solutions ont la forme :
= Ae^{kx −ωt}
Oùk = 2π / λ, λest la longueur d'onde, etω = E / ℏ.
Pour d'autres situations, la partie énergie potentielle de l'équation d'origine décrit les conditions aux limites pour le partie spatiale de la fonction d'onde, et elle est souvent séparée en une fonction d'évolution temporelle et une fonction indépendante du temps équation.
L'équation de Schrödinger indépendante du temps
Pour les situations statiques ou les solutions qui forment des ondes stationnaires (telles que les solutions de type puits de potentiel, « particule dans une boîte »), vous pouvez séparer la fonction d'onde en parties temporelles et spatiales :
(x, t) = Ψ(x) f (t)
Lorsque vous parcourez cela en entier, la portion de temps peut être annulée, laissant une forme de l'équation de Schrödinger quiseuldépend de la position de la particule. La fonction d'onde indépendante du temps est alors donnée par :
H (x) = E (x)
IciEest l'énergie du système de mécanique quantique, etHest l'opérateur hamiltonien. Cette forme de l'équation prend la forme exacte d'une équation aux valeurs propres, avec la fonction d'onde étant la fonction propre, et l'énergie étant la valeur propre lorsque l'opérateur hamiltonien est appliqué à cela. En développant l'hamiltonien sous une forme plus explicite, il peut être écrit en entier comme :
−\frac{ ℏ^2}{2m} \frac{\partial^2 Ψ}{\partial x^2} + V(x) Ψ = E Ψ(x)
La partie temps de l'équation est contenue dans la fonction :
f (t) = e^{\frac{iEt}{ℏ}}
Solutions à l'équation de Schrödinger indépendante du temps
L'équation de Schrödinger indépendante du temps se prête bien à des solutions assez simples car elle réduit la forme complète de l'équation. Un exemple parfait de ceci est le groupe de solutions «particule dans une boîte» où la particule est supposée être dans un potentiel carré infini bien dans une dimension, donc il y a un potentiel zéro (c'est-à-direV= 0) partout, et il n'y a aucune chance que la particule soit trouvée à l'extérieur du puits.
Il y a aussi un puits carré fini, où le potentiel aux "parois" du puits n'est pas infini et même s'il est supérieur à l'énergie de la particule, il y aquelquepossibilité de trouver la particule à l'extérieur grâce à l'effet tunnel quantique. Pour le puits à potentiel infini, les solutions prennent la forme :
Ψ(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \bigg(\frac{nπ}{L}x\bigg)
OùLest la longueur du puits.
Un potentiel de fonction delta est un concept très similaire au puits de potentiel, sauf avec la largeurLallant à zéro (c'est-à-dire étant infinitésimal autour d'un seul point) et la profondeur du puits allant à l'infini, tandis que le produit des deux (U0) reste constant. Dans cette situation très idéalisée, il n'y a qu'un seul état lié, donné par :
Ψ(x) = \frac{\sqrt{mU_0}}{ℏ}e^{-\frac{mU_0}{ℏ^2}\vert x\vert}
Avec énergie :
E = - \frac{mU_0^2}{2ℏ^2}
Solution d'atome d'hydrogène à l'équation de Schrödinger
Enfin, la solution de l'atome d'hydrogène a des applications évidentes à la physique du monde réel, mais en pratique la situation car un électron autour du noyau d'un atome d'hydrogène peut être considéré comme assez similaire au puits de potentiel problèmes. Cependant, la situation est tridimensionnelle et est mieux décrite en coordonnées sphériquesr, θ, ϕ. La solution dans ce cas est donnée par :
Ψ(x) = NR_{n, l}(r) P^m_{l}(\cos θ)e^{imϕ}
OùPsont les polynômes de Legendre,Rsont des solutions radiales spécifiques, etNest une constante que vous corrigez en utilisant le fait que la fonction d'onde doit être normalisée. L'équation donne des niveaux d'énergie donnés par :
E = - \frac{\mu Z^2e^4}{8ϵ_0h^2n^2}
OùZvoici le numéro atomique (doncZ= 1 pour un atome d'hydrogène),edans ce cas est la charge d'un électron (plutôt que la constantee = 2.7182818...), ϵ0 est la permittivité de l'espace libre, etμest la masse réduite, qui est basée sur les masses du proton et de l'électron dans un atome d'hydrogène. Cette expression est bonne pour tout atome de type hydrogène, c'est-à-dire toute situation (y compris les ions) où il y a un électron en orbite autour d'un noyau central.