Une fonction périodique est une fonction qui répète ses valeurs à intervalles réguliers ou « périodes ». Penser à comme un battement de cœur ou le rythme sous-jacent d'une chanson: il répète la même activité sur un rythme régulier. Le graphique d'une fonction périodique ressemble à un seul motif qui se répète encore et encore.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
Une fonction périodique répète ses valeurs à intervalles réguliers ou « périodes ».
Types de fonctions périodiques
Les fonctions périodiques les plus connues sont les fonctions trigonométriques: sinus, cosinus, tangente, cotangente, sécante, cosécante, etc. D'autres exemples de fonctions périodiques dans la nature incluent les ondes lumineuses, les ondes sonores et les phases de la lune. Chacun d'eux, lorsqu'il est représenté graphiquement sur le plan de coordonnées, crée un motif répétitif sur le même intervalle, ce qui le rend facile à prédire.
La période d'une fonction périodique est l'intervalle entre deux points « correspondants » sur le graphique. En d'autres termes, c'est la distance le long de la
X-axe que la fonction doit parcourir avant de commencer à répéter son modèle. Les fonctions sinus et cosinus de base ont une période de 2π, tandis que la tangente a une période de π.Une autre façon de comprendre la période et la répétition des fonctions trigonométriques est de les considérer en termes de cercle unité. Sur le cercle unité, les valeurs tournent et tournent autour du cercle lorsqu'elles augmentent en taille. Ce mouvement répétitif est la même idée qui se reflète dans le modèle stable d'une fonction périodique. Et pour le sinus et le cosinus, vous devez faire un chemin complet autour du cercle (2π) avant que les valeurs ne commencent à se répéter.
Équation pour une fonction périodique
Une fonction périodique peut également être définie comme une équation de cette forme :
f (x + nP) = f (x)
OùPest la période (une constante non nulle) etmest un entier positif.
Par exemple, vous pouvez écrire la fonction sinus de cette manière :
\sin (x + 2π) = \sin (x)
m= 1 dans ce cas, et la période,P, pour une fonction sinus est 2π.
Testez-le en essayant quelques valeurs pourX, ou regardez le graphique: Choisissez n'importe quelX-value, puis déplacez 2π dans les deux sens le long de laX-axe; lesoui-la valeur doit rester la même.
Maintenant, essayez-le quandm = 2:
\sin (x + (2×2π)) = \sin (x) \\ \sin (x + 4π) = \sin (x)
Calculer pour différentes valeurs deX: X = 0, X = π, X= π/2, ou vérifiez-le sur le graphique.
La fonction cotangente suit les mêmes règles, mais sa période est de π radians au lieu de 2π radians, donc son graphique et son équation ressemblent à ceci :
\cot (x + nπ) = \cot (x)
Notez que les fonctions tangentes et cotangentes sont périodiques, mais elles ne sont pas continues: il y a des "ruptures" dans leurs graphiques.