Les fractions radicales ne sont pas de petites fractions rebelles qui restent dehors tard, buvant et fumant de l'herbe. Au lieu de cela, ce sont des fractions qui incluent des radicaux - généralement des racines carrées lorsque vous êtes introduit pour la première fois au concept, mais plus tard, vous pourriez également rencontrer des racines cubiques, des racines quatrièmes et autres, qui sont toutes appelées radicaux aussi. Selon exactement ce que votre professeur vous demande de faire, il existe deux manières de simplifier les fractions radicales: Soit factoriser le radical entièrement, simplifiez-le ou "rationalisez" la fraction, ce qui signifie que vous éliminez le radical du dénominateur mais que vous pouvez toujours avoir un radical dans le numérateur.
Annuler les expressions radicales d'une fraction
Considérez votre première option, en factorisant le radical hors de la fraction. Il existe en fait deux manières de procéder. Si le même radical existe dans tous les termes en haut et en bas de la fraction, vous pouvez simplement factoriser et annuler l'expression radicale. Par exemple, si vous avez :
(2√3) / (3√3_)_
Vous pouvez exclure les deux radicaux, car ils sont présents dans chaque terme du numérateur et du dénominateur. Cela vous laisse avec :
√3/√3 × 2/3
Et parce que toute fraction avec exactement les mêmes valeurs non nulles au numérateur et au dénominateur est égale à un, vous pouvez la réécrire comme :
1 × 2/3
Ou simplement 2/3.
Simplifier l'expression radicale
Parfois, vous serez confronté à une expression radicale qui n'a pas de réponse concise, comme √3 de l'exemple précédent. Dans ce cas, vous conserverez généralement le terme radical tel qu'il est, en utilisant des opérations de base comme la factorisation ou l'annulation pour le supprimer ou l'isoler. Mais parfois, il y a une réponse évidente. Considérons la fraction suivante :
(√4)/(√9)
Dans ce cas, si vous connaissez vos racines carrées, vous pouvez voir que les deux radicaux représentent en fait des entiers familiers. La racine carrée de 4 est 2 et la racine carrée de 9 est 3. Donc, si vous voyez des racines carrées familières, vous pouvez simplement réécrire la fraction avec elles sous leur forme entière simplifiée. Dans ce cas, vous auriez :
2/3
Cela fonctionne également avec les racines cubiques et autres radicaux. Par exemple, la racine cubique de 8 est 2 et la racine cubique de 125 est 5. Donc si vous rencontrez :
(3√8) / (3√125)
Vous seriez, avec un peu de pratique, capable de voir tout de suite que cela simplifie au bien plus simple et plus facile à manipuler :
2/5
Rationaliser le dénominateur
Souvent, les enseignants vous laisseront garder des expressions radicales au numérateur de votre fraction; mais, tout comme le nombre zéro, les radicaux posent des problèmes lorsqu'ils apparaissent dans le dénominateur ou le nombre inférieur de la fraction. Ainsi, la dernière façon dont on peut vous demander de simplifier les fractions radicales est une opération appelée les rationaliser, ce qui signifie simplement retirer le radical du dénominateur. Souvent, cela signifie que l'expression radicale apparaît au numérateur à la place.
Considérez la fraction
4/_√_5
Vous ne pouvez pas facilement simplifier _√_5 en un entier, et même si vous le factorisez, vous vous retrouvez toujours avec une fraction qui a un radical au dénominateur, comme suit :
1/_√_5 × 4/1
Ainsi, aucune des méthodes déjà discutées ne fonctionnera. Mais si vous vous souvenez des propriétés des fractions, une fraction avec un nombre différent de zéro en haut et en bas est égale à 1. Vous pourriez donc écrire :
√_5/√_5 = 1
Et parce que vous pouvez multiplier par 1 autre chose sans changer la valeur de cette autre chose, vous pouvez également écrire ce qui suit sans changer réellement la valeur de la fraction :
√_5/√5 × 4/√_5
Une fois que vous vous multipliez, quelque chose de spécial se produit. Le numérateur devient 4_√_5, ce qui est acceptable car votre objectif était simplement de retirer le radical du dénominateur. Si cela apparaît au numérateur, vous pouvez vous en occuper.
Pendant ce temps, le dénominateur devient √_5 × √5 ou (√_5)2. Et parce qu'une racine carrée et un carré s'annulent, cela se simplifie à simplement 5. Donc votre fraction est maintenant :
4_√_5/5, qui est considérée comme une fraction rationnelle car il n'y a pas de radical au dénominateur.