Vous ne pouvez pas résoudre une équation qui contient une fraction avec un dénominateur irrationnel, ce qui signifie que le dénominateur contient un terme avec un signe radical. Cela inclut les racines carrées, cubiques et supérieures. Se débarrasser du signe radical s'appelle rationaliser le dénominateur. Lorsque le dénominateur a un terme, vous pouvez le faire en multipliant les termes supérieurs et inférieurs par le radical. Lorsque le dénominateur a deux termes, la procédure est un peu plus compliquée. Vous multipliez le haut et le bas par le conjugué du dénominateur et développez et simplement le numérateur.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
Pour rationaliser une fraction, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur par un nombre ou une expression qui supprime les signes radicaux du dénominateur.
Rationaliser une fraction avec un terme au dénominateur
Une fraction avec la racine carrée d'un seul terme au dénominateur est la plus facile à rationaliser. En général, la fraction prend la forme
une / √X. Vous le rationalisez en multipliant le numérateur et le dénominateur par √X.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} × \frac{ a}{\sqrt{x}} = \frac{a\sqrt{x}}{x}
Puisque tout ce que vous avez fait est de multiplier la fraction par 1, sa valeur n'a pas changé.
Exemple:
Rationaliser
\frac{12}{\sqrt{6}}
Multipliez le numérateur et le dénominateur par √6 pour obtenir
\frac{12\sqrt{6}}{6}
Vous pouvez simplifier cela en divisant 6 en 12 pour obtenir 2, donc la forme simplifiée de la fraction rationalisée est
2\sqrt{6}
Rationaliser une fraction avec deux termes au dénominateur
Supposons que vous ayez une fraction sous la forme
\frac{a + b}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}
Vous pouvez vous débarrasser du signe radical dans le dénominateur en multipliant l'expression par son conjugué. Pour un binôme général de la formeX + oui, le conjugué estX − oui. Lorsque vous les multipliez ensemble, vous obtenezX2 − oui2. En appliquant cette technique à la fraction généralisée ci-dessus :
\frac{a + b}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} × \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \ \ \,\\ (a + b) × \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{x - y}
Développez le numérateur pour obtenir
\frac{a\sqrt{x} -a\sqrt{y} + b\sqrt{x} - b\sqrt{y}}{x - y}
Cette expression devient moins compliquée lorsque vous substituez des entiers à certaines ou à toutes les variables.
Exemple:
Rationaliser le dénominateur de la fraction
\frac{3}{1 - \sqrt{y}}
Le conjugué du dénominateur est 1 − ( −√oui) = 1+ √oui. Multipliez le numérateur et le dénominateur par cette expression et simplifiez :
\frac{3 × (1 + \sqrt{y})}{1 - y} \\ \,\\ \frac{3 + 3\sqrt{y}}{1 - y}
Rationaliser les racines cubiques
Lorsque vous avez une racine cubique au dénominateur, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur par le racine cubique du carré du nombre sous le signe radical pour se débarrasser du signe radical dans le dénominateur. En général, si vous avez une fraction sous la formeune / 3√X, multipliez haut et bas par 3√X2.
Exemple:
Rationalisez le dénominateur :
\frac{7}{\sqrt[3]{x}}
Multipliez le numérateur et le dénominateur par 3√X2 pour obtenir
\frac{7 × \sqrt[3]{x^2} }{ \sqrt[3]{x} × \sqrt[3]{x^2} }= \frac{7 × \sqrt[3]{x ^2} }{ \sqrt[3]{x^3}} \\ \,\\ \frac{7 \sqrt[3]{x^2}}{x}
