Trouver le plus grand facteur commun, ou GCF, de deux nombres est utile dans de nombreuses situations en mathématiques, mais particulièrement lorsqu'il s'agit de simplifier des fractions. Si vous avez du mal avec cela ou si vous trouvez des dénominateurs communs, apprendre deux méthodes pour trouver des facteurs communs vous aidera à réaliser ce que vous vous apprêtez à faire. D'abord, cependant, c'est une bonne idée d'apprendre les bases des facteurs; Ensuite, vous pouvez examiner deux approches pour trouver des facteurs communs. Enfin, vous pouvez regarder comment appliquer vos connaissances pour simplifier une fraction.
Qu'est-ce qu'un facteur ?
Les facteurs sont les nombres que vous multipliez ensemble pour produire un autre nombre. Par exemple, 2 et 3 sont des facteurs de 6, car 2 × 3 = 6. De même, 3 et 3 sont des facteurs de 9, car 3 × 3 = 9. Comme vous le savez peut-être, les nombres premiers sont des nombres qui n'ont pas d'autres facteurs qu'eux-mêmes et 1. Donc 3 est un nombre premier, car les deux seuls nombres entiers (entiers) qui peuvent se multiplier pour donner 3 comme réponse sont 3 et 1. De la même manière, 7 est un nombre premier, tout comme 13.
Pour cette raison, il est souvent utile de décomposer un nombre en « facteurs premiers ». Cela signifie trouver tous les facteurs de nombres premiers d'un autre nombre. Il décompose essentiellement le nombre en ses « blocs de construction » fondamentaux, ce qui est une étape utile vers trouver le plus grand facteur commun de deux nombres et est également inestimable lorsqu'il s'agit de simplifier le carré les racines.
Trouver le plus grand facteur commun: première méthode
La méthode la plus simple pour trouver le plus grand facteur commun de deux nombres consiste simplement à énumérer tous les facteurs de chaque nombre et à rechercher le nombre le plus élevé que les deux partagent. Imaginez que vous vouliez trouver le facteur commun le plus élevé de 45 et 60. Tout d'abord, regardez les différents nombres que vous pouvez multiplier ensemble pour produire 45.
La façon la plus simple de commencer est d'utiliser les deux qui fonctionneront, même pour un nombre premier. Dans ce cas, nous savons que 1 × 45 = 45, nous savons donc que 1 et 45 sont des facteurs de 45. Ce sont les premier et dernier facteurs de 45, vous pouvez donc simplement remplir à partir de là. Ensuite, déterminez si 2 est un facteur. C'est facile, car tout nombre pair sera divisible par 2, et tout nombre impair ne le sera pas. Nous savons donc que 2 n'est pas un facteur de 45. Et 3? Vous devriez pouvoir remarquer que 3 est un facteur de 45, car 3 × 15 = 45 (vous pouvez toujours vous baser sur ce que vous savoir pour résoudre cela, par exemple, vous saurez que 3 × 12 = 36, et ajouter des trois à cela vous amène à 45).
Ensuite, est-ce que 4 est un facteur de 45? Non – vous savez 11 × 4 = 44, donc ça ne peut pas être! Ensuite, qu'en est-il de 5? C'est encore plus simple, car tout nombre se terminant par 0 ou 5 est divisible par 5. Et avec cela, vous pouvez facilement repérer que 5 × 9 = 45. Mais 6 n'est pas bon car 7 × 6 = 42 et 8 × 6 = 48. De là, vous pouvez également voir que 7 et 8 ne sont pas des facteurs de 45. Nous savons déjà que 9 l'est, et il est facile de voir que 10 et 11 ne sont pas des facteurs. Continuez ce processus et vous remarquerez que 15 est un facteur, mais rien d'autre ne l'est.
Les facteurs de 45 sont donc: 1, 3, 5, 9, 15 et 45.
Pour 60, vous exécutez exactement le même processus. Cette fois, le nombre est pair (donc vous savez que 2 est un facteur) et divisible par 10 (donc 5 et 10 sont les deux facteurs), ce qui rend les choses un peu plus faciles. Après avoir répété le processus, vous devriez voir que les facteurs de 60 sont: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60.
La comparaison des deux listes montre que 15 est le plus grand facteur commun de 45 et 60. Cette méthode peut prendre du temps, mais elle est simple et elle fonctionnera toujours. Vous pouvez également commencer par n'importe quel facteur commun élevé que vous pouvez repérer immédiatement, puis rechercher simplement les facteurs les plus élevés de chaque nombre.
Trouver le plus grand facteur commun: deuxième méthode
La deuxième méthode pour trouver le GCF pour deux nombres consiste à utiliser des facteurs premiers. Le processus de factorisation en nombres premiers est un peu plus facile et plus structuré que de trouver chaque facteur. Passons en revue le processus pour 42 et 63.
Le processus de factorisation en nombres premiers consiste essentiellement à décomposer le nombre jusqu'à ce qu'il ne vous reste plus que des nombres premiers. Il est préférable de commencer par le plus petit nombre premier (deux) et de travailler à partir de là. Donc pour 42, il est facile de voir que 2 × 21 = 42. Travaillez ensuite à partir de 21: 2 est-il un facteur? Non, 3? Oui! 3 × 7 = 21, et 3 et 7 sont tous deux des nombres premiers. Cela signifie que les facteurs premiers de 42 sont 2, 3 et 7. La première « pause » utilisait 2 pour arriver à 21, et la seconde le décomposait en 3 et 7. Vous pouvez vérifier cela en multipliant tous vos facteurs ensemble et en vérifiant que vous obtenez le nombre d'origine: 2 × 3 × 7 = 42.
Pour 63, 2 n'est pas un facteur, mais 3 l'est, car 3 × 21 = 63. Encore une fois, 21 se décompose en 3 et 7 - tous deux premiers - donc vous connaissez les facteurs premiers! La vérification montre que 3 × 3 × 7 = 63, comme requis.
Vous trouvez le facteur commun le plus élevé en regardant quels facteurs premiers les deux nombres ont en commun. Dans ce cas, 42 a 2, 3 et 7 et 63 a 3, 3 et 7. Ils ont 3 et 7 en commun. Pour trouver le facteur commun le plus élevé, multipliez tous les facteurs premiers communs ensemble. Dans ce cas, 3 × 7 = 21, donc 21 est le plus grand facteur commun de 42 et 63.
L'exemple précédent peut également être résolu plus rapidement de cette façon. Comme 45 est divisible par trois (3 × 15 = 45) et que 15 est également divisible par trois (3 × 5 = 15), les facteurs premiers de 45 sont 3, 3 et 5. Pour 60, il est divisible par deux (2 × 30 = 60), 30 est également divisible par deux (2 × 15 = 30), et il vous reste alors 15, dont nous savons qu'il a trois et cinq comme facteurs premiers, laissant 2, 2, 3 et 5. En comparant les deux listes, trois et cinq sont les facteurs premiers communs, donc le plus grand facteur commun est 3 × 5 = 15.
Dans le cas où il y a trois facteurs premiers communs ou plus, vous les multipliez tous ensemble de la même manière pour trouver le plus grand facteur commun.
Simplifier les fractions avec des facteurs communs
Si on vous présente une fraction comme 32/96, cela peut rendre très compliqués les calculs qui suivent, à moins que vous ne trouviez un moyen de simplifier la fraction. Trouver le plus petit facteur commun de 32 et 96 vous indiquera le nombre par lequel diviser les deux, pour obtenir une fraction plus simple. Dans ce cas:
32 = 2 × 16 \\ 16 = 2 × 2 × 2 × 2 \\ \text{So } 32 = 2^5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Pour 96, le processus donne :
96 = 48 × 2 \\ 48 = 24 × 2 \\ 24 = 12 × 2 \\ 12 = 6 × 2 \\ 6 = 3 × 2 \\ \text{So } 96 = 2^5 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Il doit être clair que 25 = 32 est le facteur commun le plus élevé. En divisant les deux parties de la fraction par 32, on obtient :
\frac{32}{96} = \frac{1}{3}
Trouver des dénominateurs communs est un processus similaire. Imaginez que vous deviez additionner les fractions 15/45 et 40/60. Nous savons d'après le premier exemple que 15 est le plus grand facteur commun de 45 et 60, nous pouvons donc immédiatement les exprimer sous la forme 5/15 et 10/15. Puisque 3 × 5 = 15 et que les deux numérateurs sont également divisibles par cinq, nous pouvons diviser les deux parties des deux fractions par cinq pour obtenir 1 /3 et 2/3. Maintenant, ils sont beaucoup plus faciles à ajouter et à voir que
\frac{15}{45} + \frac{40}{60} = 1