Une fois que vous commencez à faire de la trigonométrie et du calcul, vous pouvez rencontrer des expressions comme sin (2θ), où vous êtes invité à trouver la valeur deθ. Jouer par essais et erreurs avec des graphiques ou une calculatrice pour trouver la réponse irait d'un cauchemar prolongé à totalement impossible. Heureusement, les identités à double angle sont là pour vous aider. Ce sont des cas particuliers de ce qu'on appelle une formule composée, qui brise les fonctions des formes (UNE + B) ou alors (UNE – B) en fonctions de justeUNEetB.
Les identités à double angle pour Sine
Il existe trois identités à double angle, une pour chacune des fonctions sinus, cosinus et tangente. Mais les identités sinus et cosinus peuvent être écrites de plusieurs manières. Voici les deux façons d'écrire l'identité à double angle pour la fonction sinus :
\sin (2θ) = 2\sinθ\cosθ \\ \sin (2θ) = \frac{2\tanθ}{1 + \tan^2θ}
Les identités à double angle pour le cosinus
Il y a encore plus de façons d'écrire l'identité à double angle pour le cosinus :
\cos (2θ) = \cos^2θ - \sin^2θ \\ \cos (2θ) = 2\cos^2θ - 1 \\ \cos (2θ) = 1 - 2\sin^2θ \\ \cos ( 2θ) = \frac{1 - \tan^2θ}{1 + \tan^2θ}
L'identité à double angle pour Tangent
Heureusement, il n'y a qu'une seule façon d'écrire l'identité à double angle pour la fonction tangente :
\tan (2θ) = \frac{2\tanθ}{1 - \tan^2θ}
Utiliser des identités à double angle
Imaginez que vous êtes face à un triangle rectangle dont vous connaissez la longueur de ses côtés, mais pas la mesure de ses angles. On vous a demandé de trouverθ, oùθest l'un des angles du triangle. Si l'hypoténuse du triangle mesure 10 unités, le côté adjacent à votre angle mesure 6 unités et le côté opposé à l'angle mesure 8 unités, peu importe que vous ne connaissiez pas la mesure deθ; vous pouvez utiliser votre connaissance du sinus et du cosinus, ainsi que l'une des formules à double angle, pour trouver la réponse.
Une fois que vous avez choisi un angle, vous pouvez définir le sinus comme le rapport du côté opposé sur l'hypoténuse et le cosinus comme le rapport du côté adjacent sur l'hypoténuse. Donc dans l'exemple qui vient d'être donné, vous avez :
\sinθ = \frac{8}{10} \\ \,\\ \cosθ = \frac{6}{10}
Vous trouvez ces deux expressions parce qu'elles sont les blocs de construction les plus importants pour les formules à double angle.
Parce qu'il y a tellement de formules à double angle parmi lesquelles choisir, vous pouvez sélectionner celle qui semble la plus facile à calculer et qui renverra le type d'informations dont vous avez besoin. Dans ce cas, parce que tu connais le péchéθet cosθdéjà, il est clair que l'expression la plus commode est :
\sin (2θ) = 2\sinθ\cosθ
Vous connaissez déjà les valeurs de sinθ et cosθ, alors remplacez-les dans l'équation :
\sin (2θ) = 2 × \frac{8}{10} × \frac{6}{10}
Une fois que vous aurez simplifié, vous aurez :
\sin (2θ) = \frac{96}{100}
La plupart des graphiques trigonométriques sont donnés en nombres décimaux, alors travaillez ensuite la division représentée par la fraction pour la convertir en forme décimale. Maintenant vous avez:
\sin (2θ) = 0.96
Enfin, trouvez l'inverse sinus ou arcsinus de 0,96, qui s'écrit sin −1(0.96). Ou, en d'autres termes, utilisez votre calculatrice ou un graphique pour approximer l'angle qui a un sinus de 0,96. Il s'avère que c'est presque exactement égal à 73,7 degrés. Donc 2θ= 73,7 degrés.
Divisez chaque côté de l'équation par 2. Cela vous donne :
θ = 36,85 \text{ degrés}