Une séquence mathématique est un ensemble de nombres classés dans l'ordre. Un exemple serait 3, 6, 9, 12,... Un autre exemple serait 1, 3, 9, 27, 81,... Les trois points signifient que l'ensemble continue. Chaque nombre de l'ensemble est appelé un terme. Une suite arithmétique est une suite dans laquelle chaque terme est séparé du précédent par une constante que vous ajoutez à chaque terme. Dans le premier exemple, la constante est 3; vous ajoutez 3 à chaque terme pour obtenir le prochain terme. La deuxième séquence n'est pas arithmétique car vous ne pouvez pas appliquer cette règle pour obtenir les termes; les nombres semblent être séparés par 3, mais dans ce cas, chaque nombre est multiplié par 3, ce qui fait la différence (c'est-à-dire ce que vous obtiendriez si vous soustrayiez les termes les uns des autres) bien plus que 3.
Il est facile de comprendre une séquence arithmétique lorsqu'elle ne comprend que quelques termes, mais que se passe-t-il si elle contient des milliers de termes et que vous souhaitez en trouver un au milieu? Vous pouvez écrire la séquence à la main, mais il existe un moyen beaucoup plus simple. Vous utilisez la formule de séquence arithmétique.
Comment dériver la formule de séquence arithmétique
Si vous désignez le premier terme d'une suite arithmétique par la lettreune, et vous laissez la différence commune entre les termes êtreré, vous pouvez écrire la séquence sous cette forme :
a, (a + d), (a + 2d), (a +3d),.. .
Si vous notez le nième terme de la suite commeXm, vous pouvez écrire une formule générale pour cela :
x_n = a + d (n - 1)
Utilisez ceci pour trouver le 10ème terme dans la séquence 3, 6, 9, 12,.. .
x_{10} = 3 + 3 (10 - 1) = 30
Vérifiez en écrivant les termes dans l'ordre, et vous verrez que cela fonctionne.
Un exemple de problème de séquence arithmétique
Dans de nombreux problèmes, une séquence de nombres vous est présentée et vous devez utiliser la formule de séquence arithmétique pour écrire une règle permettant de dériver n'importe quel terme de cette séquence particulière.
Par exemple, écrivez une règle pour la séquence 7, 12, 17, 22, 27,... La différence commune (ré) vaut 5 et le premier terme (une) est 7. lemLe terme est donné par la formule de la séquence arithmétique, donc tout ce que vous avez à faire est de brancher les nombres et de simplifier :
\begin{aligned} x_n &= a + d (n - 1) \\ &= 7 + 5(n - 1) \\ &= 7 + 5n - 5 \\ &= 2 + 5n \end{aligned}
Il s'agit d'une suite arithmétique à deux variables,Xmetm. Si vous en connaissez un, vous pouvez trouver l'autre. Par exemple, si vous recherchez le 100e terme (X100), ensuitem= 100 et le terme est 502. D'autre part, si vous voulez savoir à quel terme est le nombre 377, réorganisez la formule de la séquence arithmétique résoudre pourm:
\begin{aligned} n &= \frac{x_n - 2}{5} \\ \,\\ &= \frac{377 - 2}{5} \\ \,\\ &= 75 \end{aligned}
Le nombre 377 est le 75e terme de la séquence.