La capacité de calculer la valeur moyenne ou moyenne d'un groupe de nombres est importante dans tous les aspects de la vie. Si vous êtes un professeur qui attribue des notes alphabétiques aux notes d'examen et que vous attribuez traditionnellement une note de B- à un score au milieu du peloton, alors vous devez clairement savoir à quoi ressemble le milieu du peloton numériquement. Vous avez également besoin d'un moyen d'identifier les scores comme valeurs aberrantes afin de pouvoir déterminer quand quelqu'un mérite un A ou un A+ (en dehors des scores parfaits, évidemment) ainsi que ce qui mérite une note d'échec.
Pour cette raison et pour des raisons connexes, les données complètes sur les moyennes incluent des informations sur le degré de regroupement des scores autour du score moyen en général. Cette information est transmise à l'aide écart-type et, connexe, le variance d'un échantillon statistique.
Mesures de la variabilité
Vous avez presque certainement entendu ou vu le terme "moyen" utilisé en référence à un ensemble de nombres ou de points de données, et vous avez probablement une idée de ce que cela signifie dans le langage courant. Par exemple, si vous lisez que la taille moyenne d'une femme américaine est d'environ 5' 4", vous en concluez immédiatement que « moyen » signifie « typique », et qu'environ la moitié des femmes aux États-Unis sont plus grandes que cela, tandis qu'environ la moitié sont plus court.
Mathématiquement, moyenne et moyenne sont exactement la même chose: vous ajoutez toutes les valeurs d'un ensemble et divisez par le nombre d'éléments dans l'ensemble. Par exemple, si un groupe de 25 scores sur un test de 10 questions vont de 3 à 10 et totalisent 196, le score moyen (moyen) est de 196/25, soit 7,84.
La médiane est la valeur médiane dans un ensemble, le nombre que la moitié des valeurs se situent au-dessus et la moitié des valeurs se situent en dessous. Il est généralement proche de la moyenne (moyenne) mais ce n'est pas la même chose.
Formule d'écart
Si vous regardez un ensemble de 25 scores comme ceux ci-dessus et que vous ne voyez presque rien d'autre que des valeurs de 7, 8 et 9, il est logique que la moyenne soit d'environ 8. Mais que se passe-t-il si vous ne voyez presque rien d'autre que des scores de 6 et 10? Ou cinq scores de 0 et 20 scores de 9 ou 10? Tous ces éléments peuvent produire la même moyenne.
La variance est une mesure de la répartition des points d'un ensemble de données par rapport à la moyenne. Pour calculer la variance à la main, vous prenez la différence arithmétique entre chacun des points de données et la moyenne, mettez-les au carré, additionnez la somme des carrés et divisez le résultat par un de moins que le nombre de points de données dans le goûter. Un exemple de ceci est fourni plus loin. Vous pouvez également utiliser des programmes tels qu'Excel ou des sites Web comme Rapid Tables (voir Ressources pour des sites supplémentaires).
La variance est notée par le2, un "sigma" grec avec un exposant de 2.
Écart-type
le écart-type d'un échantillon est simplement la racine carrée de la variance. La raison pour laquelle les carrés sont utilisés lors du calcul de la variance est que si vous additionnez simplement les différences individuelles entre la moyenne et chaque point de données individuel, la somme est toujours nulle car certaines de ces différences sont positives et d'autres négatives, et elles s'annulent en dehors. La quadrature de chaque terme élimine cet écueil.
Exemple de problème de variance et d'écart type
Supposons que l'on vous donne les 10 points de données :
4, 7, 10, 5, 7, 6, 9, 8, 5, 9
Trouvez la moyenne, la variance et l'écart type.
Tout d'abord, additionnez les 10 valeurs et divisez par 10 pour obtenir la moyenne (moyenne) :
70/10 = 7.0
Pour obtenir la variance, placez la différence entre chaque point de données et la moyenne, additionnez-les et divisez le résultat par (10 - 1), ou 9 :
- 7 - 4 = 3; 32 = 9
- 7 - 7 = 0; 02 = 0
- 7 - 10 = -3; (-3)2 = 9.. .
9 + 0 + 9 +... + 4 = 36
σ2= 36/9 = 4.0
L'écart type σ n'est que la racine carrée de 4,0 ou 2,0.