Le calcul d'une proportion d'échantillon dans les statistiques de probabilité est simple. Non seulement un tel calcul est un outil pratique en soi, mais c'est aussi un moyen utile d'illustrer comment les tailles d'échantillon dans les distributions normales affectent les écarts types de ces échantillons.
Supposons qu'un joueur de baseball frappe 0,300 au cours d'une carrière qui comprend plusieurs milliers d'apparitions au marbre, ce qui signifie que la probabilité qu'il obtienne un le coup de base à chaque fois qu'il fait face à un lanceur est de 0,3. À partir de là, il est possible de déterminer à quelle distance de .300 il frappera dans un plus petit nombre de plaques les apparences.
Définitions et paramètres
Pour ces problèmes, il est important que la taille des échantillons soit suffisamment grande pour produire des résultats significatifs. Le produit de la taille de l'échantillon m et la probabilité p de l'événement en question doit être supérieur ou égal à 10, et de même, le produit de la taille de l'échantillon et
un moins la probabilité que l'événement se produise doit également être supérieure ou égale à 10. En langage mathématique, cela signifie quenp 10
et
n (1 - p) ≥ 10
le proportion de l'échantillonp̂ est simplement le nombre d'événements observés X divisé par la taille de l'échantillon m, ou alors
p̂ = \frac{x}{n}
Moyenne et écart type de la variable
le moyenne de X est simplement np, le nombre d'éléments de l'échantillon multiplié par la probabilité que l'événement se produise. le écart-type de X est:
\sqrt{np (1 - p)}
Revenant à l'exemple du joueur de baseball, supposons qu'il a 100 apparitions au marbre lors de ses 25 premiers matchs. Quels sont la moyenne et l'écart type du nombre de hits qu'il devrait obtenir ?
np = 100 × 0,3 = 30
et
\begin{aligned} \sqrt{np (1 - p)} &= \sqrt{100×0.3×0.7} \\ &= 10 \sqrt{0.21} \\ &= 4.58 \end{aligned}
Cela signifie que le joueur obtenant aussi peu que 25 coups sûrs dans ses 100 apparitions au marbre ou jusqu'à 35 ne serait pas considéré comme une anomalie statistique.
Moyenne et écart type de la proportion de l'échantillon
le moyenne de toute proportion d'échantillon p̂ est juste p. le écart-type de p̂ est:
\frac{\sqrt{p (1 - p)}}{\sqrt{n}}
Pour le joueur de baseball, avec 100 essais au marbre, la moyenne est simplement de 0,3 et l'écart type est :
\begin{aligned} \frac{\sqrt{0.3 × 0.7}}{\sqrt{100}} &= \frac{\sqrt{0.21}}{10} \\ &= 0.0458 \end{aligned}
Notez que l'écart type de p̂ est bien inférieur à l'écart type de X.