L'algèbre regorge de régularités répétitives que vous pourriez à chaque fois calculer par arithmétique. Mais parce que ces modèles sont si courants, il existe généralement une formule quelconque pour faciliter les calculs. Le cube d'un binôme est un excellent exemple: si vous deviez le résoudre à chaque fois, vous passeriez beaucoup de temps à travailler avec un crayon et du papier. Mais une fois que vous connaissez la formule pour résoudre ce cube (et quelques astuces pratiques pour vous en souvenir), trouver votre réponse est aussi simple que de brancher les bons termes dans les bons emplacements variables.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
La formule du cube d'un binôme (une + b) est:
(une + b)3 = une3 + 3_a_2b + 3_ab_2 + b3
Calcul du cube d'un binôme
Il n'y a pas lieu de paniquer quand vous voyez un problème comme (a + b)3 devant toi. Une fois que vous le décomposerez en ses composants familiers, il commencera à ressembler à des problèmes mathématiques plus familiers que vous avez déjà résolus.
Dans ce cas, il est utile de se rappeler que
(a + b)3
est le même que
(a + b)(a + b)(a + b), qui devrait sembler beaucoup plus familier.
Mais au lieu de refaire le calcul à partir de zéro à chaque fois, vous pouvez utiliser le "raccourci" d'une formule qui représente la réponse que vous obtiendrez. Voici la formule du cube d'un binôme :
(a + b)3 = un3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Pour utiliser la formule, identifiez quels nombres (ou variables) occupent les emplacements pour "a" et "b" sur le côté gauche de la équation, puis substituez ces mêmes nombres (ou variables) dans les cases "a" et "b" sur le côté droit de la formule.
Exemple 1: Résoudre (x + 5)3
Comme tu peux le voir, X occupe l'emplacement "a" dans la partie gauche de votre formule, et 5 occupe l'emplacement "b". Substitution X et 5 dans la partie droite de la formule vous donne :
X3 + 3x25 + 3x52 + 53
Une petite simplification vous rapproche d'une réponse :
X3 + 3(5)x2 + 3(25)x + 125
Et enfin, une fois que vous avez simplifié au maximum :
X3 + 15x2 + 75x + 125
Et la soustraction ?
Vous n'avez pas besoin d'une formule différente pour résoudre un problème comme (y - 3)3. Si vous vous en souvenez oui - 3 est le même que y + (-3), vous pouvez simplement réécrire le problème en [y + (-3)]3 et résolvez-le en utilisant votre formule familière.
Exemple 2 : Résoudre (y - 3)3
Comme déjà discuté, votre première étape consiste à réécrire le problème en [y + (-3)]3.
Ensuite, rappelez-vous votre formule pour le cube d'un binôme :
(a + b)3 = un3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Dans ton problème, oui occupe l'emplacement "a" sur le côté gauche de l'équation, et -3 occupe l'emplacement "b". Remplacez-les dans les emplacements appropriés sur le côté droit de l'équation, en prenant grand soin de vos parenthèses pour conserver le signe négatif devant -3. Cela vous donne :
oui3 + 3 ans2(-3) + 3 ans(-3)2 + (-3)3
Il est maintenant temps de simplifier. Encore une fois, faites très attention à ce signe négatif lorsque vous appliquez des exposants :
oui3 + 3(-3)y2 + 3(9)y + (-27)
Un autre tour de simplification vous donne votre réponse :
oui3 - 9 ans2 + 27 ans - 27
Attention à la somme et à la différence des cubes
Portez toujours une attention particulière à la position des exposants dans votre problème. Si vous voyez un problème dans le formulaire (a + b)3, ou alors [a + (-b)]3, alors la formule discutée ici est appropriée. Mais si votre problème ressemble à (une3 + b3) ou alors (une3 -b3), ce n'est pas le cube d'un binôme. C'est la somme des cubes (dans le premier cas) ou la différence des cubes (dans le second cas), auquel cas on applique l'une des formules suivantes :
(une3 + b3) = (a + b)(a2 - ab + b2)
(une3 -b3) = (a - b)(a2 + ab + b2)