Dans la vie de tous les jours, la plupart des gens utilisent les termesla vitesseetrapiditéde manière interchangeable, mais pour les physiciens, ce sont des exemples de deux types de quantité très différents.
Les problèmes de mécanique concernent le mouvement des objets, et bien que vous puissiez simplement décrire le mouvement en termes de vitesse, la direction spécifique dans laquelle quelque chose va est souvent d'une importance critique.
De même, les forces appliquées aux objets peuvent provenir de nombreuses directions différentes - pensez aux forces opposées dans un tir à la corde, par exemple - donc les physiciens décrivant des situations comme celle-ci doivent utiliser des quantités qui décrivent à la fois la « taille » de choses comme les forces et la direction dans laquelle elles acte. Ces quantités sont appeléesvecteurs.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
Un vecteur a à la fois une magnitude et une direction spécifique, mais une quantité scalaire n'a qu'une magnitude.
Vecteurs vs. Scalaires
La principale différence entre les vecteurs et les scalaires est que la magnitude d'un vecteur ne le décrit pas entièrement; il doit également y avoir une direction déclarée.
La direction d'un vecteur peut être énoncée de nombreuses manières, que ce soit par des signes positifs ou négatifs devant lui, en l'exprimant sous forme de composantes (valeurs scalaires à côté desje, jetk« vecteur unitaire », qui correspondent aux coordonnées cartésiennes deX, ouietz, respectivement), en ajoutant un angle par rapport à une direction donnée (par exemple, « 60 degrés de laX-axis") ou simplement en ajoutant quelques mots pour décrire la direction (par exemple, "nord-ouest").
En revanche, un scalaire n'est que la magnitude du vecteur sans aucune notation ou information supplémentaire fournie - par exemple, la vitesse est un équivalent scalaire du vecteur vitesse. D'un point de vue mathématique, c'est la valeur absolue du vecteur.
Cependant, de nombreuses quantités, telles que l'énergie, la pression, la longueur, la masse, la puissance et la température sont des exemples de scalaires qui ne sont pas seulement la magnitude d'un vecteur correspondant. Vous n'avez pas besoin de connaître la « direction » de la masse, par exemple, pour en avoir une image complète en tant que propriété physique.
Il y a quelques faits contre-intuitifs que vous pouvez comprendre lorsque vous connaissez la différence entre un scalaire et un vecteur, comme l'idée que quelque chose pourrait avoir une vitesse constante mais un changement continu rapidité. Imaginez une voiture roulant à une vitesse constante de 10 km/h mais en cercle. Parce que la direction d'un vecteur fait partie de sa définition, le vecteur vitesse de la voiture est toujours changeant dans cet exemple, malgré le fait que l'amplitude du vecteur (c'est-à-dire sa vitesse) est constant.
Exemples de quantités vectorielles
Il existe de nombreux exemples de vecteurs en physique, mais certains des exemples les plus connus sont la force, la quantité de mouvement, l'accélération et la vitesse, qui occupent tous une place importante dans la physique classique. Un vecteur vitesse pourrait être affiché comme 25 m/s à l'est, -8 km/h dans leoui-direction,v= 5 m/sje+ 10m/sj, ou 10 m/s dans une direction à 50 degrés de laX-axe.
Les vecteurs de quantité de mouvement sont un autre exemple que vous pouvez utiliser pour voir comment la magnitude et la direction du vecteur sont affichées en physique. Ceux-ci fonctionnent comme les exemples de vecteur vitesse, avec 50 kg m/s à l'ouest, -12 km/h dans lezdirection,p= 12 kg m/sje– 10 kg m/sj– 15 kg m/sket 100 kg m/s à 30 degrés duX-axis étant des exemples de la façon dont ils pourraient être affichés. Les mêmes points de base sont valables pour l'affichage des vecteurs d'accélération, la seule différence étant l'unité de m/s2 et le symbole couramment utilisé pour le vecteur,une.
La force est le dernier de ces exemples d'expressions vectorielles, et bien qu'il existe de nombreuses similitudes, l'utilisation de coordonnées cylindriques (r, θ, z) au lieu des coordonnées cartésiennes peut aider à montrer d'autres façons dont elles peuvent être affichées. Par exemple, vous pouvez écrire une force sous la formeF= 10Nr+ 35 N𝛉, pour une force avec des composantes dans la direction radiale et la direction azimutale, ou décrire la force de gravité sur un objet de 1 kg sur Terre comme 10 N dans le –rdirection (c'est-à-dire vers le centre de la planète).
Notation vectorielle dans les diagrammes
Dans les diagrammes, les vecteurs sont affichés à l'aide de flèches, l'amplitude du vecteur étant représentée par la longueur de la flèche et sa direction représentée par la direction dans laquelle pointe la flèche. Par exemple, une flèche plus grande montre qu'une force est plus grande (c'est-à-dire plus de newtons ou une plus grande amplitude) qu'une autre force.
Pour un vecteur qui montre un mouvement, tel que la quantité de mouvement ou le vecteur vitesse, levecteur zéro(c'est-à-dire un vecteur ne représentant ni vitesse ni élan) est affiché à l'aide d'un seul point.
Il convient de noter que parce que la longueur de la flèche représente la magnitude du vecteur et son orientation représente la direction du vecteur. Il est utile d'essayer d'être raisonnablement précis lors de la création d'un diagramme vectoriel. Il n'a pas besoin d'être parfait, mais si le vecteuruneest deux fois plus grand que le vecteurb, la flèche doit être environ deux fois plus longue.
Addition et soustraction de vecteurs
L'addition et la soustraction vectorielles sont un peu plus compliquées que l'addition et la soustraction de scalaires, mais vous pouvez facilement assimiler les concepts. Il existe deux approches principales que vous pouvez utiliser, et chacune a des utilisations potentielles en fonction du problème spécifique auquel vous vous attaquez.
La première, et la plus simple à utiliser lorsque vous avez reçu deux vecteurs sous forme de composants, consiste simplement à ajouter des composants correspondants de la même manière que vous ajouteriez des scalaires ordinaires. Par exemple, si vous deviez additionner les deux forcesF1 = 5Nje+ 10NjetF2 = 6Nje+ 15 Nj+ 10Nk, vous ajouteriez lejecomposants, puis lejcomposants et enfin lekcomposants comme suit :
\begin{aligned} \bm{F}_1 + \bm{F}_2 &= (5 \;\text{N} \;\bold{i} + 10 \;\text{N}\;\bold{ j}) + (6 \;\text{N} \;\bold{i} + 15 \;\text{N}\;\bold{j} + 10 \;\text{N}\;\bold{ k}) \\ &= (5 \;\text{N} + 6 \;\text{N}) \bold{i} + (10 \;\text{N} + 15 \;\text{N}) \bold{j} + (0 \;\text{N} + 10 \;\text{N}) \bold{k} \\ &= 11 \;\text{N} \;\bold{i} + 25 \;\text{N} \;\bold{j} + 10 \;\text{N} \;\bold{k} \end{aligné}
La soustraction vectorielle fonctionne exactement de la même manière, sauf que vous soustrayez les quantités plutôt que de les ajouter. L'addition vectorielle est également commutative, comme l'addition ordinaire avec des nombres réels, doncune + b = b + une.
Vous pouvez également effectuer une addition vectorielle à l'aide de diagrammes de flèches en plaçant les flèches vectorielles tête-bêche, puis dessiner une nouvelle flèche vectorielle pour la somme des vecteurs reliant la queue de la première flèche à la tête du deuxième.
Si vous avez une simple addition vectorielle avec un dans leX-direction et une autre dans leoui-direction, le diagramme forme un triangle rectangle. Vous pouvez compléter l'addition vectorielle et déterminer la magnitude et la direction du vecteur résultant en "résolvant" le triangle à l'aide de la trigonométrie et du théorème de Pythagore.
Le produit scalaire et le produit croisé
La multiplication de vecteurs est un peu plus compliquée que la multiplication scalaire pour les nombres réels, mais les deux principales formes de multiplication sont le produit scalaire et le produit croisé. Le produit scalaire est appelé produit scalaire et est défini comme :
\bm{u} \;∙ \;\bm{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3
ou alors
\bm{u} \;∙ \;\bm{v} = \lvert\bm{u}\rvert\lvert\bm{v}\rvert \text{cos}(θ)
oùθest l'angle entre les deux vecteurs, et les indices 1, 2 et 3 représentent les première, deuxième et troisième composantes du vecteur. Le résultat du produit scalaire est un scalaire.
Le produit croisé est défini comme :
\bm{a} \; \bold{×} \;\bm{b} =(a_2b_3 − a_3b_2, a_3b_1 − a_1b_3,a_1b_2 − a_2b_1)
avec des virgules séparant les composants du résultat dans différentes directions.