Distribution de Maxwell-Boltzmann: fonction, dérivation et exemples

Décrire ce qui se passe avec de très petites particules est un défi en physique. Non seulement leur taille est difficile à utiliser, mais dans la plupart des applications quotidiennes, vous n'avez pas affaire à une seule particule, mais à un nombre incalculable d'entre elles interagissant toutes les unes avec les autres.

Au sein d'un solide, les particules ne se croisent pas, mais sont plutôt bloquées en place. Cependant, les solides peuvent se dilater et se contracter avec les variations de température, et parfois même subir des changements intéressants dans les structures cristallines dans certaines situations.

Dans les liquides, les particules sont libres de se déplacer les unes sur les autres. Cependant, les scientifiques n'ont pas tendance à étudier les fluides en essayant de garder une trace de ce que fait chaque molécule individuelle. Au lieu de cela, ils examinent les propriétés plus larges de l'ensemble, telles que la viscosité, la densité et la pression.

Tout comme pour les liquides, les particules d'un gaz sont également libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. En fait, les gaz peuvent subir des changements de volume considérables en raison des différences de température et de pression.

Encore une fois, cela n'a pas de sens d'étudier un gaz en gardant une trace de ce que fait chaque molécule de gaz, même à l'équilibre thermique. Ce ne serait pas faisable, surtout si l'on considère que même dans l'espace d'un verre vide, il y a environ 10²² molécules d'air. Il n'y a même pas d'ordinateur assez puissant pour exécuter une simulation d'autant de molécules en interaction. Au lieu de cela, les scientifiques utilisent des propriétés macroscopiques telles que la pression, le volume et la température pour étudier les gaz et faire des prédictions précises.

Le type de gaz le plus facile à analyser est un gaz parfait. Il est idéal car il permet certaines simplifications qui rendent la physique beaucoup plus facile à comprendre. De nombreux gaz à des températures et pressions standard agissent approximativement comme des gaz idéaux, ce qui rend leur étude utile également.

Dans un gaz parfait, les molécules de gaz elles-mêmes sont supposées entrer en collision dans des collisions parfaitement élastiques, de sorte que vous n'avez pas à vous soucier de la forme changeante de l'énergie à la suite de telles collisions. On suppose également que les molécules sont très éloignées les unes des autres, ce qui signifie essentiellement vous n'avez pas à vous soucier qu'ils se battent pour l'espace et pouvez les traiter comme un point particules. Les gaz idéaux ne sont pas non plus trop chauds ni trop froids, vous n'avez donc pas à vous soucier des effets tels que l'ionisation ou les effets quantiques.

De là, les particules de gaz peuvent être traitées comme de petites particules ponctuelles rebondissant dans leur conteneur. Mais même avec cette simplification, il n'est toujours pas possible de comprendre les gaz en suivant ce que fait chaque particule individuelle. Cependant, cela permet aux scientifiques de développer des modèles mathématiques qui décrivent les relations entre les quantités macroscopiques.

La loi des gaz parfaits concerne la pression, le volume et la température d'un gaz parfait. La pressionPd'un gaz est la force par unité de surface qu'il exerce sur les parois du récipient dans lequel il se trouve. L'unité SI de pression est le pascal (Pa) où 1Pa = 1N/m². Le volumeVdu gaz est la quantité d'espace qu'il occupe en unités SI de m³. Et la températureTdu gaz est une mesure de l'énergie cinétique moyenne par molécule, mesurée en unités SI de Kelvin.

L'équation décrivant la loi des gaz parfaits peut s'écrire comme suit :

OùNest le nombre de molécules ou le nombre de particules et la constante de Boltzmannk​ = 1.38064852×10^-23 kgm²/s²K.

Une formulation équivalente de cette loi est :

Oùmest le nombre de moles, et la constante universelle des gazR= 8,3145 J/molK.

Ces deux expressions sont équivalentes. Celui que vous choisissez d'utiliser dépend simplement de si vous mesurez votre nombre de molécules en moles ou en nombre de molécules.

• 1 mole = 6,022×10²³ molécules, qui est le nombre d'Avogadro.

Une fois qu'un gaz a été estimé comme idéal, vous pouvez faire une simplification supplémentaire. C'est-à-dire qu'au lieu de considérer la physique exacte de chaque molécule - ce qui serait impossible en raison de leur nombre - elles sont traitées comme si leurs mouvements étaient aléatoires. Pour cette raison, les statistiques peuvent être appliquées pour comprendre ce qui se passe.

Au 19ème siècle, les physiciens James Clerk Maxwell et Ludwig Boltzmann ont développé la théorie cinétique des gaz basée sur les simplifications décrites.

Classiquement, chaque molécule d'un gaz peut se voir attribuer une énergie cinétique de la forme :

Cependant, toutes les molécules du gaz n'ont pas la même énergie cinétique car elles entrent constamment en collision. La distribution exacte des énergies cinétiques des molécules est donnée par la distribution de Maxwell-Boltzmann.

Les statistiques de Maxwell-Boltzmann décrivent la distribution des molécules de gaz parfaits sur divers états d'énergie. La fonction qui décrit cette distribution est la suivante :

OùUNEest une constante de normalisation,Eest l'énergie,kest la constante de Boltzmann etTest la température.

D'autres hypothèses faites pour obtenir cette fonction sont que, en raison de leur nature ponctuelle, il n'y a pas de limite au nombre de particules pouvant occuper un état donné. De plus, la distribution des particules entre les états d'énergie prend nécessairement la distribution la plus probable (avec un plus grand nombre de particules, les chances que le gaz ne soit pas proche de cette distribution deviennent de plus en plus petit). Et enfin, tous les états d'énergie sont également probables.

Ces statistiques fonctionnent car il est extrêmement improbable qu'une particule donnée puisse se retrouver avec une énergie nettement supérieure à la moyenne. Si c'était le cas, cela laisserait beaucoup moins de façons de distribuer le reste de l'énergie totale. Cela se résume à un jeu de nombres - comme il y a beaucoup plus d'états énergétiques qui n'ont pas de particule bien au-dessus de la moyenne, la probabilité que le système soit dans un tel état est extrêmement faible.

Cependant, les énergies inférieures à la moyenne sont plus probables, encore une fois en raison de la façon dont les probabilités se jouent. Étant donné que tout mouvement est considéré comme aléatoire et qu'il existe un plus grand nombre de façons dont une particule peut se retrouver dans un état de faible énergie, ces états sont favorisés.

La distribution de Maxwell-Boltzmann est la distribution des vitesses des particules de gaz parfait. Cette fonction de distribution de vitesse peut être dérivée des statistiques de Maxwell-Boltzmann et utilisée pour dériver des relations entre la pression, le volume et la température.

La répartition de la vitessevest donné par la formule suivante :

Oùmest la masse d'une molécule.

La courbe de distribution associée, avec la fonction de distribution de vitesse sur leoui-axe et la vitesse moléculaire sur leX-axis, ressemble à peu près à une courbe normale asymétrique avec une queue plus longue sur la droite. Il a une valeur de crête à la vitesse la plus probablev_p, et une vitesse moyenne donnée par :

Notez également comment il a une longue queue étroite. La courbe change légèrement à différentes températures, la longue queue devenant "plus grosse" à des températures plus élevées.

Utilisez la relation :

OùE_entierest l'énergie interne,KE​_​moy​ est l'énergie cinétique moyenne par molécule de la distribution de Maxwell-Boltzmann. Avec la loi des gaz parfaits, il est possible d'obtenir une relation entre la pression et le volume en termes de mouvement moléculaire :