Moment angulaire: définition, équation, unités (avec diagrammes et exemples)

Considérez la scène: vous et un ami, en raison de problèmes indépendants de votre volonté, vous tenez au sommet d'une longue rampe en pente descendante. Chacun de vous a reçu une balle d'un rayon d'exactement 1 m. On vous a dit que le vôtre est fait d'un matériau uniforme semblable à de la mousse et a une masse de 5 kg. La balle de votre ami a également une masse de 5 kg, que vous vérifiez avec une balance pratique.

Votre ami veut vous parier que si vous lâchez les deux boules en même temps, la vôtre arrivera au fond en premier. Vous êtes tenté d'affirmer que puisque les balles ont la même masse et le même rayon (et donc le même volume), elles seront accélérées par gravité le long de la rampe à la même vitesse tout au long de la descente. Mais quelque chose arrête votre « élan » de pari et vous ne prenez pas le pari...

... sagement, comme il s'avère. Bien que cela n'ait aucun sens au début, la balle de votre ami, apparemment une jumelle de la vôtre, descend la rampe plus lentement que la vôtre. Une fois l'expérience terminée, vous exigez que les balles soient démontées et examinées à la recherche de signes de supercherie. Au lieu de cela, tout ce que vous trouvez, c'est que les 5 kg de masse dans la balle de votre ami étaient confinés à une coque mince autour de l'extérieur, avec l'intérieur creux.

Qu'en est-il de la configuration décrite ci-dessus qui fait pencher la valeur de v en faveur de votre balle? Comme il arrive, tout commeles forceschanger laquantité de mouvement linéaired'objets avecvitesse lineaire​, ​coupleschanger lamoment angulaired'objets avecvitesse angulaire​.

Un objet roulant rigide a à la fois un moment linéaire et un moment angulaire, car comme son centre de masse se déplace avec une vitesse constante v (égale à la vitesse tangentielle de la balle ou de la roue), chaque autre partie de l'objet tourne autour de ce centre de masse avec une vitesse angulaire ω.

La façon dont la masse est distribuée dans un objet n'a aucune incidence sur son moment linéaire, mais détermine son moment angulaire de manière exquise. Il le fait grâce à une quantité "semblable à la masse" (à des fins de rotation) appelée moment d'inertie, des valeurs plus élevées de ce qui implique à la fois plus de difficulté à faire tourner quelque chose et plus de difficulté à l'arrêter une fois qu'il est déjà tournant.

Le moment angulaire est une mesure de la difficulté à modifier le mouvement de rotation d'un objet. Cela dépend du moment d'inertie de l'objet et de sa vitesse angulaire. Le moment angulaire est une quantité conservée, ce qui signifie que la somme des moments angulaires des particules dans un système fermé est toujours la même, même si celle des particules individuelles peut fluctuer.

Comme indiqué, le moment angulaire est également fonction de la répartition de la masse autour d'un axe. Pour en avoir une idée intuitive, imaginez-vous debout à 1 pied du centre d'un énorme manège qui fait un tour toutes les 10 secondes. Imaginez maintenant être sur le même engin avec la même vitesse angulaire tout en restant debout 1miledu centre. Il ne faut pas beaucoup d'imagination pour concevoir la différence de moment angulaire dans ces deux scénarios.

​Le moment angulaire est le produit du moment d'inertie par sa vitesse angulaire, ou:
​

oùL= moment cinétique en kg∙m²/s,je= moment d'inertie en kg∙m², et = vitesse angulaire en radians par seconde (rad/s).

• ​jeest aussi appelé le deuxième moment de l'aire.

Notez que la discussion s'est élargie d'une masse ponctuelle à un corps solide, tel qu'un cylindre ou une sphère, tournant autour d'un axe. Le centre de masse d'un objet n'est souvent pas à sagéométriquecentre, donc les valeurs dejedépendent de la répartition de la masse de l'objet. C'est souvent symétrique mais pas uniforme, comme un disque creux avec toute sa masse dans une mince bande à l'extérieur (en d'autres termes, un anneau).

Le vecteur moment angulaire pointe le long de l'axe de rotation, perpendiculaire au plan formé parr, le "balayage" circulaire de n'importe quel point de l'objet à travers l'espace.

Un tableau de référence pour la valeur dejepour différentes formes communes se trouve dans les ressources. Utilisez-les pour commencer à résoudre quelques problèmes de base de moment angulaire.

• Noter quejepour une coquille sphérique est (2/3)mr² tandis que celle d'une sphère est (2/5)mr². Pour en revenir au pari de l'introduction, vous pouvez maintenant voir que la balle de votre ami a (2/3)/(2/5) = 1,67 fois le moment d'inertie de la vôtre, ce qui explique que vous remportez la « course ».

1. Un disque à inertie de rotationjede 1,5 kg∙m²/s tourne autour d'un axe avec une vitesse angulaireωde 8 rad/s. Quel est son moment angulaireL​?

2. Une tige mince de 15 m de long avec une masse de 5 kg - l'aiguille d'une horloge massive, disons - tourne autour d'un point fixé à une extrémité avec une vitesse angulaireωde 2π rad/60 s = (π/30) rad/s. Quel est son moment cinétiqueL​?

Cette fois, vous devez rechercher la valeur deje. Pour une tige mince se déplaçant de cette manière,je= (1/3)mr²​.

Comparez ceci à la réponse du premier exemple. Cela vous surprend-il? Pourquoi ou pourquoi pas?

« Conservation » signifie quelque chose d'un peu différent en physique que dans le domaine des écosystèmes. Cela signifie simplement que la quantité totale de quantités conservées (énergie, quantité de mouvement, masse et inertie sont les "quatre grandes" quantités conservées en physique) dans un système, y compris l'univers, reste toujours le même. Si vous essayez d'"éliminer" l'énergie, elle apparaît simplement sous une autre forme, et toute tentative de la "créer" repose sur une source préexistante.

La loi de conservation du moment cinétique stipule que dans un système fermé, le moment cinétique total ne peut pas changer. Parce que le moment cinétique dépend de la vitesse angulaire et du moment d'inertie, on peut prédire comment l'une ou l'autre de ces quantités doit alors changer l'une par rapport à l'autre dans une situation donnée.

• Formellement, puisque le couple peut être exprimé commeτ= dL/dt (le taux de variation du moment angulaire avec le temps), lorsque la somme des couples dans un système est nulle, alors dL/dt doit également être égal à zéro et il n'y a pas de changement de moment angulaire dans le système au cours de la période dans laquelle le système est évalué. Inversement, si L n'est pas constant, cela implique un déséquilibre des couples dans le système (c'est-à-direτ_rapporterestne paségal à zéro).

C'est un concept important dans de nombreux exemples de mécanique de la vie quotidienne. Un exemple classique est la patineuse: lorsqu'elle saute en l'air pour faire un triple axel, elle tire fermement ses membres. Cela diminue son rayon global autour de son axe de rotation, changeant sa distribution de masse de sorte que son moment d'inertie diminue (rappelez-vous,jeest proportionnel à mr²​).

Comme le moment cinétique est conservé, cependant, sijediminue, sa vitesse angulaire doit augmenter; c'est ainsi qu'elle tourne assez vite pour effectuer plusieurs rotations dans les airs! Lorsqu'elle atterrit, elle fait l'inverse - elle écarte ses membres, changeant sa répartition de masse pour augmenter son moment d'inertie, ralentissant à son tour sa vitesse de rotation (vitesse angulaire).

Tout au long, le moment angulaire du système est constant, mais les variables qui déterminent l'amplitude du moment angulaire peuvent être manipulées, et à effet stratégique, comme dans ce cas.

À partir des années 1600, Isaac Newton entreprit de révolutionner efficacement la physique mathématique. Ayant co-inventé le calcul, il était bien placé pour faire des affirmations formelles sur les lois vraisemblablement universelles régissant le mouvement des objets, à la fois en translation (linéaire et dans l'espace) et en rotation (de manière cyclique et environ un axe).

• Les différentslois de conservationqui seront amplement mentionnés plus tard ne sont pas les créations de Newton, mais des relations significatives existent entre celles-ci et les lois du mouvement.

​La première loi de Newtondéclare qu'un objet au repos ou se déplaçant à vitesse constante restera dans cet état à moins qu'une force extérieure n'agisse sur l'objet. C'est ce qu'on appelle aussi leloi d'inertie.​

​La deuxième loi de Newtonaffirme qu'une force netteF_rapporteragit sur une particule de massem, il aura tendance à changer la vitesse de, ou à accélérer, cette masse. Cette fameuse relation s'exprime mathématiquement parF_rapporter= mune​.

​Troisième loi de Newtondit que pour chaque force qui existe dans la nature, il existe une force égale en grandeur mais pointant exactement dans la direction opposée. Cette loi a des implications importantes pour les propriétés conservées du mouvement, y compris le moment angulaire.

C'est maintenant un excellent moment pour revoir la nature, les règles et les relations entreObliger​, ​élan(masse fois vitesse) eténergie, qui informent non seulement les discussions sur le moment angulaire, mais tout le reste de la physique classique.

Comme indiqué, à moins qu'un objet ne subisse une force externe (ou dans le cas d'un objet en rotation, un couple externe), son mouvement continue sans être affecté. Sur Terre, cependant, la gravité est pratiquement toujours dans le mélange, de même que les moindres contributeurs à la traînée d'air et à divers types de friction. forces, de sorte que rien ne continue de bouger à moins qu'on ne lui donne occasionnellement de l'énergie pour remplacer ce qui est « pris » par ces « mouvements » chroniques. voleurs."

Pour simplifier, une particule a unénergie totalecomposé deénergie interne(par exemple, la vibration de ses molécules) eténergie mécanique. L'énergie mécanique est à son tour la somme deénergie potentielle(PE; énergie "stockée", généralement par gravité) eténergie cinétique(KE; énergie du mouvement). Utilement, PE + KE + IE = une constante pour tous les systèmes, qu'il s'agisse d'une masse ponctuelle (particule unique) ou d'une variété de masses en interaction sifflantes.

Lorsque vous entendez des termes liés au mouvement, tels que vitesse, accélération, déplacement et quantité de mouvement, vous supposez probablement par défaut que le contexte est un mouvement linéaire. Le mouvement de rotation, en fait, a ses propres quantités uniques mais analogues.

Alors que le déplacement linéaire est mesuré en mètres (m) en unités SI, le déplacement angulaire est mesuré en radians (2π rad = 360 degrés). Par conséquent,vitesse angulaireest mesuré en rad/s et est représenté parω, la lettre grecque oméga.

Cependant, lorsqu'une masse ponctuelle se déplace autour de son axe de rotation, en plus de la vitesse angulaire, la particule trace une trajectoire circulaire à une vitesse donnée, semblable à un mouvement linéaire. Ce taux est levitesse tangentielle​ ​v_t​​,et est égal à rω,oùrest le rayon ou la distance de l'axe de rotation.

En relation,accélération angulaire​ ​α(Alpha grec) est le taux de variation de la vitesse angulaireωet se mesure en rad/s². Il y a aussiaccélération centripète​ ​une_cdonné parv_t²/r,qui est dirigé vers l'intérieur vers l'axe de rotation.

• Alors que la discussion sur le moment angulaire, la contrepartie de mven termes linéaires, fera l'objet d'une discussion approfondie prochainement, sachez que l'un de ses composants,je, peut être considéré comme un analogue rotationnel de la masse.

Le moment angulaire, comme la force, le déplacement, la vitesse et l'accélération, est unquantité de vecteur, parce que ces variables incluent à la fois unordre de grandeur(c'est-à-dire un nombre) et undirection, souvent donné les termes de ses composants individuels x, y et z. Les quantités qui ne contiennent qu'un élément numérique, comme la masse, le temps, l'énergie et le travail, sont appeléesQuantités scalaires​.