La cinématique est une branche mathématique de la physique qui utilise des équations pour décrire le mouvement des objets (en particulier leurtrajectoires) sans faire référence aux forces.
C'est-à-dire que vous pouvez simplement insérer divers nombres dans l'ensemble de quatre équations cinématiques pour trouver des inconnues dans ces équations sans avoir besoin d'aucune connaissance de la physique derrière ce mouvement, en s'appuyant uniquement sur votre algèbre compétences.
Considérez la « cinématique » comme une combinaison de « cinétique » et de « mathématiques » – en d'autres termes, les mathématiques du mouvement.
La cinématique de rotation est exactement cela, mais elle traite spécifiquement des objets se déplaçant dans des trajectoires circulaires plutôt qu'horizontalement ou verticalement. Comme les objets dans le monde du mouvement de translation, ces objets en rotation peuvent être décrits en termes de déplacement, vitesse et accélération au fil du temps, bien que certaines des variables changent nécessairement pour tenir compte des différences fondamentales entre linéaire et angulaire mouvement.
Il est en fait très utile d'apprendre les bases du mouvement linéaire et du mouvement de rotation en même temps, ou au moins d'être initié aux variables et équations pertinentes. Il ne s'agit pas de vous submerger, mais plutôt de souligner les parallèles.
Bien sûr, il est important de se rappeler lorsque l'on découvre ces « types » de mouvement dans l'espace que la translation et la rotation sont loin de s'exclure mutuellement. En fait, la plupart des objets en mouvement dans le monde réel affichent une combinaison des deux types de mouvement, l'un d'eux n'étant souvent pas évident à première vue.
Exemples de mouvement linéaire et de projectile
Parce que « vitesse » signifie généralement « vitesse linéaire » et « accélération » implique « accélération linéaire », sauf indication contraire, il est approprié de passer en revue quelques exemples simples de mouvement de base.
Le mouvement linéaire signifie littéralement un mouvement confiné à une seule ligne, souvent assignée à la variable « x ». Les problèmes de mouvement de projectile impliquent à la fois x- et dimensions y, et la gravité est la seule force externe (notez que ces problèmes sont décrits comme se produisant dans un monde en trois dimensions, par exemple, "Un boulet de canon est licencié… »).
Notez que la massemn'entre pas dans les équations cinématiques d'aucune sorte, car l'effet de la gravité sur le mouvement des objets est indépendant de leur masse, et des quantités telles que la quantité de mouvement, l'inertie et l'énergie ne font partie d'aucune équation de mouvement.
Une note rapide sur les radians et les degrés
Parce que le mouvement de rotation implique l'étude de trajectoires circulaires (dans des formes circulaires non uniformes et uniformes). mouvement) plutôt que d'utiliser des mètres pour décrire le déplacement d'un objet, vous utilisez des radians ou des degrés plutôt.
Le radian est, en surface, une unité maladroite, se traduisant par 57,3 degrés. Mais un voyage autour d'un cercle (360 degrés) est défini comme 2π radians, et pour des raisons que vous êtes sur le point de voir, cela s'avère pratique pour résoudre des problèmes dans certains cas.
- La relationrad = 180 degréspeut être utilisé pour convertir facilement entre les deux unités de mesure.
Il peut y avoir des problèmes qui incluent le nombre de tours par unité de temps (tr/min ou rps). Rappelez-vous que chaque révolution est de 2π radians ou 360 degrés.
Cinématique de rotation vs. Mesures cinématiques translationnelles
Les mesures cinématiques translationnelles, ou unités, ont toutes des analogues de rotation. Par exemple, au lieu de la vitesse linéaire, qui décrit, par exemple, jusqu'où une balle roule en ligne droite sur un intervalle de temps donné, larotationnelou alorsvitesse angulairedécrit la vitesse de rotation de cette boule (combien elle tourne en radians ou degrés par seconde).
La principale chose à garder à l'esprit ici est que chaque unité de translation a un analogue de rotation. Apprendre à relier mathématiquement et conceptuellement les « partenaires » demande un peu de pratique, mais pour la plupart, il s'agit d'une simple substitution.
Vitesse lineairevspécifie à la fois l'amplitude et la direction de la translation d'une particule; vitesse angulaireω(la lettre grecque oméga) représente sa vitesse singulière, qui correspond à la vitesse à laquelle l'objet tourne en radians par seconde. De même, le taux de variation deω, l'accélération angulaire, est donnée parα(alpha) en rad/s2.
Les valeurs deωetαsont les mêmes pour n'importe quel point sur un objet solide, qu'ils soient mesurés à 0,1 m de l'axe de rotation ou à 1 000 mètres de distance, car ce n'est que la vitesse à laquelle l'angleθdes changements qui comptent.
Il existe cependant des vitesses et des accélérations tangentielles (et donc linéaires) présentes dans la plupart des situations où des quantités rotationnelles sont observées. Les quantités tangentielles sont calculées en multipliant les quantités angulaires parr, la distance à l'axe de rotation :vt = ouetαt = αr.
Cinématique de rotation vs. Équations cinématiques translationnelles
Maintenant que les analogies de mesure entre le mouvement de rotation et le mouvement linéaire ont été corrigées en utilisant l'introduction de nouveaux termes angulaires, ceux-ci peuvent être utilisés pour réécrire le quatre équations cinématiques translationnelles classiques en termes de cinématique rotationnelle, juste avec des variables quelque peu différentes (les lettres dans les équations représentant inconnues quantités).
Il y a quatre équations fondamentales ainsi que quatre variables de base en jeu dans la cinématique: la position (X, ouiou alorsθ), rapidité (vou alorsω), accélération (uneou alorsα) et le tempst. L'équation que vous choisissez dépend des quantités inconnues pour commencer.
- [insérer un tableau d'équations cinématiques linéaires/translationnelles alignées avec leurs analogues rotationnels]
Par exemple, supposons qu'on vous dise qu'un bras de machine a balayé un déplacement angulaire de 3π/4 radians avec une vitesse angulaire initialeω0de 0 rad/s et une vitesse angulaire finaleωde rad/s. Combien de temps cette motion a-t-elle pris?
\theta = \theta_0 + \frac{1}{2}(\omega_0+\omega )t\implique \frac{3\pi}{4}=0+\frac{\pi}{2} t\implique t= 1.5\texte{ s}
Alors que chaque équation de translation a un analogue de rotation, l'inverse n'est pas tout à fait vrai à cause de l'accélération centripète, qui est une conséquence de la vitesse tangentiellevtet pointe vers l'axe de rotation. Même s'il n'y a pas de changement dans la vitesse d'une particule en orbite autour d'un centre de masse, cela représente une accélération car la direction du vecteur vitesse change toujours.
Exemples de cinématique rotationnelle Mathématiques
1. Une tige mince, classée comme un corps rigide d'une longueur de 3 m, tourne autour d'un axe autour d'une extrémité. Il accélère uniformément du repos à 3π rad/s2 sur une période de 10 s.
a) Quelle est la vitesse angulaire moyenne et l'accélération angulaire pendant ce temps ?
Comme pour la vitesse linéaire, il suffit de diviser (ω0+ ω) par 2 pour obtenir la vitesse angulaire moyenne: (0 + 3π s-1)/2 = 1.5π s-1.
- Les radians sont une unité sans dimension, donc dans les équations cinématiques, la vitesse angulaire est exprimée en s-1.
L'accélération moyenne est donnée parω=ω0+ t, ou alorsα= (3π s-1/10 s) =0.3πs-2.
b) Combien de tours complets la tige fait-elle ?
Puisque la vitesse moyenne est de 1,5π s-1 et la tige tourne pendant 10 secondes, elle parcourt un total de 15π radians. Puisqu'un tour équivaut à 2π radians, cela signifie (15π/2π) = 7,5 tours (sept révolutions complètes) dans ce problème.
c) Quelle est la vitesse tangentielle de l'extrémité de la tige au temps t = 10 s ?
Depuisvt = ou, etωau temps t = 10 est 3π s-1, vt= (3π s-1)(3m) =9π m/s.
Le moment d'inertie
jeest défini comme le moment d'inertie (également appelédeuxième moment d'aire) en mouvement de rotation, et il est analogue à la masse à des fins de calcul. Il apparaît donc là où la masse apparaîtrait dans le monde du mouvement linéaire, peut-être le plus important dans le calcul du moment angulaireL. C'est le produit dejeetω,et est un vecteur de même direction queω.
je = monsieur2 pour une particule ponctuelle, mais sinon cela dépend de la forme de l'objet faisant la rotation ainsi que de l'axe de rotation. Voir les ressources pour une liste pratique des valeurs dejepour les formes courantes.
La masse est différente car la quantité en cinématique rotationnelle à laquelle elle se rapporte, moment d'inertie, elle-même en faitcontientmasse en tant que composant.