Les oscillations sont partout autour de nous, du monde macroscopique des pendules et de la vibration des cordes au monde microscopique du mouvement des électrons dans les atomes et du rayonnement électromagnétique.
Un mouvement comme celui-ci qui subit un motif répétitif prévisible est connu sous le nom demouvement périodiqueou alorsmouvement oscillatoire, et connaître les grandeurs qui permettent de décrire tout type de mouvement oscillatoire est une étape clé dans l'apprentissage de la physique de ces systèmes.
Un type particulier de mouvement périodique qui est facile à décrire mathématiquement estmouvement harmonique simple, mais une fois que vous avez compris les concepts clés, il est facile de généraliser à des systèmes plus complexes.
Mouvement périodique
Le mouvement périodique, ou simplement le mouvement répété, est défini par trois grandeurs clés: l'amplitude, la période et la fréquence. leamplitude UNEde tout mouvement périodique est le déplacement maximum de la position d'équilibre (que vous pouvez penser à comme la position de "repos", comme la position stationnaire d'une corde ou le point le plus bas sur un pendule chemin).
lepériode Tde tout mouvement oscillatoire est le temps qu'il faut à l'objet pour terminer un « cycle » de mouvement. Par exemple, un pendule sur une horloge pourrait effectuer un cycle complet toutes les deux secondes, et il aurait doncT= 2 s.
lela fréquence Fest l'inverse de la période, ou en d'autres termes, le nombre de cycles effectués par seconde (ou unité de temps,t). Pour le pendule d'une horloge, il effectue un demi-cycle par seconde, et il a doncF= 0,5 Hz, où 1 hertz (Hz) signifie une oscillation par seconde.
Mouvement harmonique simple (SHM)
Le mouvement harmonique simple (SHM) est un cas particulier de mouvement périodique, où la seule force est une force de restauration et le mouvement est une simple oscillation. L'une des propriétés de base du SHM est que la force de rappel est directement proportionnelle au déplacement par rapport à la position d'équilibre.
Pour revenir à l'exemple d'une corde pincée, plus vous la tirez loin de la position de repos, plus elle reculera rapidement vers elle. L'autre propriété majeure du mouvement harmonique simple est que l'amplitude est indépendante de la fréquence et de la période du mouvement.
Le cas le plus simple de mouvement harmonique simple est celui où le mouvement oscillatoire n'est que dans une direction (c'est-à-dire un mouvement de va-et-vient), mais vous peut modéliser d'autres types de mouvement (par exemple, un mouvement circulaire) comme une combinaison de plusieurs cas de mouvement harmonique simple dans différentes directions, trop.
Quelques exemples de mouvement harmonique simple incluent une masse sur un ressort qui monte et descend à la suite d'une extension ou d'une compression du ressort, un petit pendule à angle se balancer d'avant en arrière sous l'influence de la gravité et même des exemples bidimensionnels de mouvement circulaire comme un enfant se promenant sur un carrousel ou manège.
Équations de mouvement pour oscillateurs harmoniques simples
Comme indiqué dans la section précédente, il existe une relation intéressante entre le mouvement circulaire uniforme et le mouvement harmonique simple. Imaginez un point sur un cercle tournant à une vitesse constante sur un axe fixe, et que vous suiviez leX-coordonnée de ce point tout au long de son mouvement circulaire.
Les équations qui décrivent leXpositionner,Xvitesse etXl'accélération de ce point décrit le mouvement d'un simple oscillateur harmonique. UtilisantX(t) pour la position en fonction du temps,v(t) pour la vitesse en fonction du temps etune(t) pour l'accélération en fonction du temps, les équations sont :
x (t) = A \sin (ωt) \\ v (t) = −Aω \cos (ωt) \\ a (t) = −Aω^2 \sin (ωt)
Oùωest la fréquence angulaire (liée à la fréquence ordinaire parω = 2πF) en unités de radians par seconde, et nous utilisons le tempstcomme dans la plupart des équations. Comme indiqué dans la première section,UNEest l'amplitude du mouvement.
A partir de ces définitions, vous pouvez caractériser le mouvement harmonique simple et le mouvement oscillatoire en général. Par exemple, vous pouvez voir à partir de la fonction sinus dans les deux équations de position et d'accélération que ces deux varient ensemble, et donc l'accélération maximale se produit au déplacement maximal. L'équation de la vitesse dépend du cosinus, qui prend sa valeur maximale (absolue) exactement à mi-chemin entre l'accélération (ou le déplacement) maximale dans leXou alors -Xdirection, ou en d'autres termes, à la position d'équilibre.
Messe sur un printemps
La loi de Hooke décrit une forme de mouvement harmonique simple pour un ressort et stipule que la force de rappel du ressort est proportionnelle au déplacement par rapport à l'équilibre (∆X, c'est-à-dire changement deX), et a une "constante de proportionnalité" appelée constante de ressort,k. En symboles, l'équation dit :
F_{ressort} = −k∆x
Le signe négatif ici vous indique que la force est une force de rappel, qui agit dans le sens opposé au déplacement et est mesurée dans l'unité SI de force, le newton (N).
Pour une massemsur un ressort, le déplacement maximum (amplitude) est encore appeléUNE, etωest défini comme:
ω = \sqrt{\frac{k}{m}}
Cette équation peut être utilisée avec l'équation de position pour le mouvement harmonique simple (pour trouver la position de la masse à tout moment), puis substituée à la place duXdans la loi de Hooke pour déterminer la taille de la force de rappel à tout momentt. La relation complète pour la force de rappel serait :
F_{printemps} = −k A \sin \bigg(\sqrt{\frac{k}{m}} t\bigg)
Pendule à petit angle
Pour un pendule à petit angle, la force de rappel est proportionnelle au déplacement angulaire maximal (c'est-à-dire le changement par rapport à la position d'équilibre exprimé en angle). Ici l'amplitudeUNEest l'angle maximal du pendule etωest défini comme:
= \sqrt{\frac{g}{L}}
Oùg= 9,81 m/s2 etLest la longueur du pendule. Encore une fois, cela peut être substitué dans les équations du mouvement pour le mouvement harmonique simple, sauf que vous devriez noter queXdans ce cas, ferait référence à laangulairedéplacement plutôt que le déplacement linéaire dans ledirection x. Ceci est parfois indiqué en utilisant le symbole thêta (θ) à la place duXdans ce cas.
Oscillations amorties
Dans de nombreux cas en physique, les complications telles que le frottement sont négligées pour simplifier les calculs dans des situations où elles seraient probablement négligeables de toute façon. Il existe des expressions que vous pouvez utiliser si vous devez calculer un cas où le frottement devient important, mais le point clé pour rappelez-vous qu'une fois le frottement pris en compte, les oscillations deviennent « amorties », ce qui signifie qu'elles diminuent en amplitude à chaque oscillation. Cependant, la période et la fréquence de l'oscillation restent inchangées même en présence de frottement.
Oscillations forcées et résonance
La résonance est fondamentalement l'opposé d'une oscillation amortie. Tous les objets ont une fréquence naturelle, à laquelle ils « aiment » osciller, et si l'oscillation est forcée ou entraînée à cette fréquence (par une force périodique), l'amplitude du mouvement augmentera. La fréquence à laquelle la résonance se produit est appelée fréquence de résonance, et en général, tous les objets ont leur propre fréquence de résonance, qui dépend de leurs caractéristiques physiques.
Comme pour l'amortissement, le calcul du mouvement dans ces circonstances devient plus compliqué, mais c'est possible si vous vous attaquez à un problème qui l'exige. Cependant, comprendre les aspects clés du comportement de l'objet dans ces situations est suffisant pour la plupart des buts, surtout si c'est la première fois que vous apprenez la physique de oscillatoires !