La distance euclidienne est la distance entre deux points dans l'espace euclidien. L'espace euclidien a été conçu à l'origine par le mathématicien grec Euclide vers 300 avant notre ère. étudier les relations entre les angles et les distances. Ce système de géométrie est encore utilisé aujourd'hui et c'est celui que les lycéens étudient le plus souvent. La géométrie euclidienne s'applique spécifiquement aux espaces à deux et trois dimensions. Cependant, il peut facilement être généralisé à des dimensions d'ordre supérieur.
Calculez la distance euclidienne pour une dimension. La distance entre deux points dans une dimension est simplement la valeur absolue de la différence entre leurs coordonnées. Mathématiquement, ceci est montré comme |p1 - q1| où p1 est la première coordonnée du premier point et q1 est la première coordonnée du deuxième point. Nous utilisons la valeur absolue de cette différence puisque la distance est normalement considérée comme n'ayant qu'une valeur non négative.
Prenons deux points P et Q dans un espace euclidien à deux dimensions. Nous décrirons P avec les coordonnées (p1,p2) et Q avec les coordonnées (q1,q2). Construisez maintenant un segment de droite avec les extrémités de P et Q. Ce segment de droite formera l'hypoténuse d'un triangle rectangle. En prolongeant les résultats obtenus à l'étape 1, notons que les longueurs des jambes de ce triangle sont données par |p1 - q1| et |p2 - q2|. La distance entre les deux points sera alors donnée comme la longueur de l'hypoténuse.
Utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur de l'hypoténuse à l'étape 2. Ce théorème indique que c^2 = a^2 + b^2 où c est la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle et a, b sont les longueurs des deux autres jambes. Cela nous donne c = (a^2 + b^2)^(1/2) = ((p1 - q1)^2 + (p2 - q2)^2)^(1/2). La distance entre 2 points P = (p1,p2) et Q = (q1,q2) dans l'espace à deux dimensions est donc ((p1 - q1)^2 + (p2 - q2)^2)^(1/2).
Étendez les résultats de l'étape 3 à l'espace tridimensionnel. La distance entre les points P = (p1, p2, p3) et Q = (q1,q2,q3) peut alors être donnée par ((p1-q1)^2 + (p2-q2)^2 + (p3-q3) ^2)^(1/2).
Généraliser la solution de l'étape 4 pour la distance entre deux points P = (p1, p2,..., pn) et Q = (q1,q2,..., qn) en n dimensions. Cette solution générale peut être donnée par ((p1-q1)^2 + (p2-q2)^2 +... + (pn-qn)^2)^(1/2).