Lois du mouvement pendulaire

Les pendules ont des propriétés intéressantes que les physiciens utilisent pour décrire d'autres objets. Par exemple, l'orbite planétaire suit un schéma similaire et se balancer sur une balançoire peut donner l'impression d'être sur un pendule. Ces propriétés proviennent d'une série de lois qui régissent le mouvement du pendule. En apprenant ces lois, vous pouvez commencer à comprendre certains des principes de base de la physique et du mouvement en général.

Le mouvement d'un pendule peut être décrit en utilisant

dans lequelθreprésente l'angle entre la corde et la ligne verticale au centre,treprésente le temps, etTest la période, le temps nécessaire pour qu'un cycle complet du mouvement du pendule se produise (mesuré par1/f), de la motion pour un pendule.

​Mouvement harmonique simple, ou mouvement qui décrit comment la vitesse d'un objet oscille proportionnellement à la quantité de déplacement par rapport à l'équilibre, peut être utilisé pour décrire l'équation d'un pendule. Le balancement d'un pendule est maintenu en mouvement par cette force agissant sur lui lorsqu'il se déplace d'avant en arrière.

•••Syed Hussain Ather

Les lois qui régissent le mouvement du pendule ont conduit à la découverte d'une propriété importante. Les physiciens décomposent les forces en une composante verticale et une composante horizontale. En mouvement pendulaire,trois forces agissent directement sur le pendule: la masse du bob, la gravité et la tension dans la corde. La masse et la gravité fonctionnent toutes deux verticalement vers le bas. Comme le pendule ne monte ni ne descend, la composante verticale de la tension de la corde annule la masse et la gravité.

Cela montre que la masse d'un pendule n'a aucun rapport avec son mouvement, contrairement à la tension horizontale de la corde. Le mouvement harmonique simple est similaire au mouvement circulaire. Vous pouvez décrire un objet se déplaçant sur une trajectoire circulaire comme le montre la figure ci-dessus en déterminant l'angle et le rayon qu'il prend dans sa trajectoire circulaire correspondante. Ensuite, en utilisant la trigonométrie du triangle rectangle entre le centre du cercle, la position de l'objet et le déplacement dans les deux directions x et y, vous pouvez trouver des équationsx = résine (θ)ety = rcos (θ).​

L'équation unidimensionnelle d'un objet en mouvement harmonique simple est donnée parx = r cos (ωt).Vous pouvez en outre remplacerUNEpourrdans lequelUNEest leamplitude, le déplacement maximum par rapport à la position initiale de l'objet.

La vitesse angulaireωpar rapport au tempstpour ces anglesθest donné par= t. Si vous remplacez l'équation qui relie la vitesse angulaire à la fréquenceF​, ​ω = 2​​si, vous pouvez imaginer ce mouvement circulaire, puis, dans le cadre d'un pendule oscillant d'avant en arrière, l'équation de mouvement harmonique simple résultante est

•••Syed Hussain Ather

Les pendules, comme les masses sur un ressort, sont des exemples deoscillateurs harmoniques simples: Il y a une force de rappel qui augmente en fonction du déplacement du pendule, et leur mouvement peut être décrit à l'aide de laéquation d'oscillateur harmonique simple​

dans lequelθreprésente l'angle entre la corde et la ligne verticale au centre,treprésente le temps etTest lepériode, le temps nécessaire pour qu'un cycle complet du mouvement du pendule se produise (mesuré par1/f), de la motion pour un pendule.

​θ_maxest une autre façon de définir le maximum d'oscillation de l'angle pendant le mouvement du pendule et est une autre façon de définir l'amplitude du pendule. Cette étape est expliquée ci-dessous dans la section « Définition simple du pendule ».

Une autre implication des lois d'un pendule simple est que la période d'oscillation à longueur constante est indépendante de la taille, de la forme, de la masse et du matériau de l'objet au bout de la corde. Ceci est montré clairement par la simple dérivation du pendule et les équations qui en résultent.

Vous pouvez déterminer l'équation d'unpendule simple, la définition qui dépend d'un oscillateur harmonique simple, à partir d'une série d'étapes commençant par l'équation du mouvement d'un pendule. Parce que la force de gravité d'un pendule est égale à la force du mouvement du pendule, vous pouvez les définir égales l'une à l'autre en utilisant la deuxième loi de Newton avec une masse de penduleM, Longueur de chaineL, angleθ,accélération gravitationnelleget intervalle de tempst​.

•••Syed Hussain Ather

Vous définissez la deuxième loi de Newton égale au moment d'inertieje = monsieur²pour une certaine massemet rayon du mouvement circulaire (longueur de la corde dans ce cas)rfois l'accélération angulaireα​.

1. ​F = Ma: La deuxième loi de Newton stipule que la force netteFsur un objet est égal à la masse de l'objet multipliée par l'accélération.
2. ​Ma = je: Cela vous permet de régler la force d'accélération gravitationnelle (-Mg sin (θ)L)égale à la force de rotation
   
3. ​-Mg sin (θ)L = je​: Vous pouvez obtenir la direction de la force verticale due à la gravité (-Mg) en calculant l'accélération commepéché (θ)Lsisin (θ) = d/Lpour un certain déplacement horizontalréet angleθ​ pour rendre compte de la direction.
   
4. ​-Mg sin (θ)L = ML² α: Vous substituez l'équation au moment d'inertie d'un corps en rotation en utilisant la longueur de chaîne L comme rayon.
   
5. ​-Mg sin (θ)L = -ML²​​ré²/dt: Tenir compte de l'accélération angulaire en substituant la dérivée seconde de l'angle par rapport au temps pourα.Cette étape nécessite des calculs et des équations différentielles.
   
6. ​ré²/dt² + (g/L) sinθ = 0: Vous pouvez l'obtenir en réorganisant les deux côtés de l'équation
   
7. ​ré²/dt² + (g/L)θ = 0: Vous pouvez approximerpéché (θ)commeθaux fins d'un simple pendule à très petits angles d'oscillation
   
8. ​(t) =_maxcos (t (L/g)²): L'équation du mouvement a cette solution. Vous pouvez le vérifier en prenant la dérivée seconde de cette équation et en travaillant pour obtenir l'étape 7.

Il existe d'autres façons de faire une simple dérivation pendulaire. Comprenez la signification de chaque étape pour voir comment elles sont liées. Vous pouvez décrire un mouvement de pendule simple en utilisant ces théories, mais vous devez également prendre en compte d'autres facteurs qui peuvent affecter la théorie du pendule simple.

Si vous comparez le résultat de cette dérivation

à l'équation d'un oscillateur harmonique simpleby en les mettant égaux l'un à l'autre, vous pouvez dériver une équation pour la période T :

Notez que cette équation ne dépend pas de la masseMdu pendule, l'amplitudeθ_max, ni à l'heuret. Cela signifie que la période est indépendante de la masse, de l'amplitude et du temps, mais dépend plutôt de la longueur de la corde. Il vous donne une manière concise d'exprimer le mouvement du pendule.

Avec l'équation pour une période, vous pouvez réarranger l'équation pour obtenir

et remplacez 1 seconde parTet9,8 m/s²pourgobtenirL =0,0025 m. Gardez à l'esprit que ces équations de la théorie du pendule simple supposent que la longueur de la corde est sans friction et sans masse. Pour tenir compte de ces facteurs, il faudrait des équations plus compliquées.

Vous pouvez tirer l'angle arrière du penduleθde le laisser osciller d'avant en arrière pour le voir osciller comme le ferait un ressort. Pour un pendule simple, vous pouvez le décrire en utilisant les équations du mouvement d'un oscillateur harmonique simple. L'équation du mouvement fonctionne bien pour de plus petites valeurs d'angle etamplitude, l'angle maximum, car le modèle de pendule simple repose sur l'approximation quepéché (θ)​ ≈ ​θpour un certain angle de penduleθ.Comme les valeurs d'angles et d'amplitudes deviennent supérieures à environ 20 degrés, cette approximation ne fonctionne pas aussi bien.

Essayez vous-même. Un pendule oscillant avec un grand angle initialθn'oscillera pas aussi régulièrement pour vous permettre d'utiliser un simple oscillateur harmonique pour le décrire. À un angle initial plus petitθ, le pendule s'approche beaucoup plus facilement d'un mouvement oscillatoire régulier. Parce que la masse d'un pendule n'a aucune incidence sur son mouvement, les physiciens ont prouvé que tous les pendules ont la même période d'oscillation angles - l'angle entre le centre du pendule à son point le plus élevé et le centre du pendule à sa position d'arrêt - moins de 20 degrés.

À toutes fins utiles d'un pendule en mouvement, le pendule finira par décélérer et s'arrêter en raison de la friction entre la corde et son point d'attache au-dessus ainsi qu'en raison de la résistance de l'air entre le pendule et l'air autour de.

Pour des exemples pratiques de mouvement pendulaire, la période et la vitesse dépendraient du type de matériau utilisé qui provoquerait ces exemples de friction et de résistance de l'air. Si vous effectuez des calculs sur le comportement oscillatoire théorique du pendule sans tenir compte de ces forces, cela prendra en compte un pendule oscillant à l'infini.

La première loi de Newton définit la vitesse des objets en réponse à des forces. La loi stipule que si un objet se déplace à une vitesse spécifique et en ligne droite, il continuera à se déplacer à cette vitesse et en ligne droite, à l'infini, tant qu'aucune autre force n'agit sur lui. Imaginez que vous jetiez une balle directement vers l'avant - la balle ferait le tour de la terre encore et encore si la résistance de l'air et la gravité n'agissait pas dessus. Cette loi montre que puisqu'un pendule se déplace d'un côté à l'autre et non de haut en bas, il n'a aucune force de haut en bas agissant sur lui.

La deuxième loi de Newton est utilisée pour déterminer la force nette sur le pendule en réglant la force gravitationnelle égale à la force de la corde qui tire vers le haut sur le pendule. La définition de ces équations égales les unes aux autres vous permet de dériver les équations du mouvement du pendule.

La troisième loi de Newton stipule que chaque action a une réaction de force égale. Cette loi fonctionne avec la première loi montrant que bien que la masse et la gravité annulent la composante verticale du vecteur de tension de la corde, rien n'annule la composante horizontale. Cette loi montre que les forces agissant sur un pendule peuvent s'annuler.

Les physiciens utilisent les première, deuxième et troisième lois de Newton pour prouver que la tension horizontale de la corde déplace le pendule sans tenir compte de la masse ou de la gravité. Les lois d'un pendule simple suivent les idées des trois lois du mouvement de Newton.