Taylor-sarja on numeerinen menetelmä tietyn funktion edustamiseksi. Tätä menetelmää voidaan käyttää monilla tekniikan aloilla. Joissakin tapauksissa, kuten lämmönsiirto, differentiaalianalyysi johtaa yhtälöön, joka sopii Taylor-sarjan muotoon. Taylor-sarja voi myös edustaa integraalia, jos funktion integraalia ei ole analyyttisesti. Nämä esitykset eivät ole tarkkoja arvoja, mutta jos lasketaan enemmän termejä sarjassa, likiarvo saadaan tarkemmaksi.
Valitse keskus Taylor-sarjalle. Tämä numero on mielivaltainen, mutta kannattaa valita keskusta, jossa funktiossa on symmetria tai jossa keskuksen arvo yksinkertaistaa tehtävän matematiikkaa. Jos lasket Taylor-sarjan esityksen f (x) = sin (x): stä, hyvä käyttökeskus on a = 0.
Määritä laskettavien termien lukumäärä. Mitä enemmän termejä käytät, sitä tarkempi edustuksesi on, mutta koska Taylor-sarja on ääretön sarja, on mahdotonta sisällyttää kaikkia mahdollisia termejä. Sin (x) -esimerkissä käytetään kuutta termiä.
Laske sarjaan tarvitsemasi johdannaiset. Tässä esimerkissä sinun on laskettava kaikki johdannaiset kuudenteen johdantoon asti. Koska Taylor-sarja alkaa kohdasta "n = 0", sinun on sisällytettävä "0" -johdannainen, joka on vain alkuperäinen funktio. 0. johdannainen = sin (x) 1. = cos (x) 2. = -sin (x) 3. = -cos (x) 4. = sin (x) 5. = cos (x) 6. = -sin (x)
Laske kunkin johdannaisen arvo valitsemassasi keskipisteessä. Nämä arvot ovat Taylor-sarjan kuuden ensimmäisen jakson osoittajat. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Määritä Taylor-sarjan termit derivaattilaskelmien ja keskuksen avulla. 1. vaalikausi; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 2. kausi; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! 3. kausi; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! 4. vaalikausi; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5. vaalikausi; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! 6. vaalikausi; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Taylor-sarja synnille (x): sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Pudota nollatermit sarjaan ja yksinkertaista lauseketta algebrallisesti funktion yksinkertaistetun esityksen määrittämiseksi. Tämä on täysin erilainen sarja, joten aiemmin käytetyt n: n arvot eivät enää ole voimassa. sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! +... synti (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! -... Koska merkit vaihtelevat positiivisen ja negatiivisen välillä, yksinkertaistetun yhtälön ensimmäisen komponentin on oltava (-1) ^ n, koska sarjassa ei ole parillisia numeroita. Termi (-1) ^ n johtaa negatiiviseen merkkiin, kun n on pariton, ja positiiviseen merkkiin, kun n on parillinen. Parittomien numeroiden sarjaesitys on (2n + 1). Kun n = 0, tämä termi on 1; kun n = 1, tämä termi on 3 ja niin edelleen ääretön. Käytä tässä esimerkissä tätä esitystä x: n eksponenteille ja nimittäjän faktoriaaleille
Käytä funktion esitystä alkuperäisen funktion sijasta. Edistyneemmille ja vaikeimmille yhtälöille Taylor-sarja voi tehdä ratkaisemattoman yhtälön ratkaistavaksi tai ainakin antaa kohtuullisen numeerisen ratkaisun.