Jos tiedät kaksi pistettä, jotka putoavat tietylle eksponentiaaliselle käyrälle, voit määrittää käyrän ratkaisemalla yleisen eksponenttifunktion käyttämällä näitä pisteitä. Käytännössä tämä tarkoittaa y: n ja x: n pisteiden korvaamista yhtälössä y = abx. Menettely on helpompaa, jos yhden pisteen x-arvo on 0, mikä tarkoittaa, että piste on y-akselilla. Jos kummallakaan pisteellä ei ole nollaa x-arvoa, prosessi x: n ja y: n ratkaisemiseksi on hiukan monimutkaisempi.
Miksi eksponentiaaliset toiminnot ovat tärkeitä
Monet tärkeät järjestelmät seuraavat eksponentiaalisia kasvu- ja rappeutumismalleja. Esimerkiksi bakteerien lukumäärä pesäkkeessä kasvaa yleensä eksponentiaalisesti ja ydintapahtuman jälkeinen ilmakehän säteily ilmakehässä vähenee yleensä eksponentiaalisesti. Ottamalla dataa ja piirtämällä käyrä tutkijat ovat paremmassa asemassa ennustamaan.
Pisteparista kuvaajaan
Mikä tahansa kaksiulotteisen kuvaajan piste voidaan esittää kahdella luvulla, jotka on yleensä kirjoitettu sisään muoto (x, y), jossa x määrittelee vaakasuoran etäisyyden origosta ja y edustaa pystysuoraa etäisyys. Esimerkiksi piste (2, 3) on kaksi yksikköä y-akselin oikealla puolella ja kolme yksikköä x-akselin yläpuolella. Toisaalta piste (-2, -3) on kaksi yksikköä y-akselin vasemmalla puolella. ja kolme yksikköä x-akselin alapuolella.
Jos sinulla on kaksi pistettä, (x1, y1) ja (x2, y2), voit määrittää eksponenttifunktion, joka kulkee näiden pisteiden läpi korvaamalla ne yhtälössä y = abx ja ratkaisemalla a ja b. Yleensä sinun on ratkaistava tämä yhtälöpari:
y1 = abx1 ja y2 = abx2, .
Tässä muodossa matematiikka näyttää hieman monimutkaiselta, mutta se näyttää vähemmän siltä, kun olet tehnyt muutaman esimerkin.
Yksi piste X-akselilla
Jos jokin x-arvoista - sano x1 - on 0, operaatio muuttuu hyvin yksinkertaiseksi. Esimerkiksi pisteiden (0, 2) ja (2, 4) yhtälön ratkaiseminen tuottaa:
2 = ab0 ja 4 = ab2. Koska tiedämme, että b0 = 1, ensimmäisestä yhtälöstä tulee 2 = a. Korvaamalla a toisessa yhtälössä saadaan 4 = 2b2, jonka yksinkertaistamme b: ksi2 = 2 tai b = 2: n neliöjuuri, mikä on noin 1,41. Määrittävä toiminto on silloin y = 2 (1,41)x.
Kumpikaan X-akselin piste
Jos kumpikaan x-arvo ei ole nolla, on yhtälöparin ratkaiseminen hieman hankalampaa. Henochmath opastaa meitä helpon esimerkin avulla tämän menettelyn selventämiseksi. Esimerkissä hän valitsi pisteparin (2, 3) ja (4, 27). Tämä antaa seuraavan yhtälöparin:
27 = ab4
3 = ab2
Jos jaat ensimmäisen yhtälön toisella, saat
9 = b2
joten b = 3. On myös mahdollista, että b on yhtä suuri kuin -3, mutta tässä tapauksessa oletetaan, että se on positiivinen.
Voit korvata tämän arvon b kummassakin yhtälössä saadaksesi a. Toisen yhtälön käyttäminen on helpompaa, joten:
3 = a (3)2 joka voidaan yksinkertaistaa arvoon 3 = a9, a = 3/9 tai 1/3.
Näiden pisteiden läpi kulkeva yhtälö voidaan kirjoittaa y = 1/3 (3)x.
Esimerkki reaalimaailmasta
Vuodesta 1910 lähtien väestönkasvu on ollut räjähdysmäistä, ja piirtämällä kasvukäyrä tutkijoilla on paremmat mahdollisuudet ennustaa ja suunnitella tulevaisuutta. Vuonna 1910 maailman väkiluku oli 1,75 miljardia ja vuonna 2010 6,87 miljardia. Kun otetaan huomioon vuoden 1910 lähtökohta, tämä antaa pisteparin (0, 1,75) ja (100, 6,87). Koska ensimmäisen pisteen x-arvo on nolla, voimme helposti löytää a: n.
1,75 = ab0 tai a = 1,75. Kytkemällä tämä arvo yhdessä toisen pisteen arvojen kanssa yleiseen eksponenttiyhtälöön saadaan 6,87 = 1,75b100, joka antaa b: n arvon sadaksi juureksi 6.87 / 1.75 tai 3.93. Joten yhtälöstä tulee y = 1,75 (sadan juuren arvo 3,93)x. Vaikka sen tekeminen vaatii muutakin kuin diasääntö, tutkijat voivat käyttää tätä yhtälöä tulevien väestömäärien ennustamiseen auttaakseen nykyisiä poliitikkoja luomaan sopivia politiikkoja.