Absoluuttisten arvojen eriarvoisuuksien ratkaiseminen on paljon kuin absoluuttisten arvoyhtälöiden ratkaiseminen, mutta on pidettävä mielessä pari ylimääräistä yksityiskohtaa. Se auttaa olemaan jo mukava ratkaista absoluuttisia arvoyhtälöitä, mutta on hyvä, jos opit niitä myös yhdessä!
Absoluuttisen arvon eriarvoisuuden määritelmä
Ensinnäkinabsoluuttisen arvon eriarvoisuuson eriarvoisuus, johon liittyy absoluuttinen arvon ilmaisu. Esimerkiksi,
| 5 + x | - 10> 6
on absoluuttinen arvoerotus, koska sillä on eriarvoisuusmerkki,> ja absoluuttinen arvolauseke, | 5 +x |.
Absoluuttisen arvon eriarvoisuuden ratkaiseminen
vaiheet absoluuttisen arvon eriarvoisuuden ratkaisemiseksiovat paljon kuin vaiheet absoluuttisen arvoyhtälön ratkaisemiseksi:
Vaihe 1:Eristää absoluuttisen arvon ilmaisu eriarvoisuuden toiselle puolelle.
Vaihe 2:Ratkaise epätasa-arvon positiivinen "versio".
Vaihe 3:Ratkaise epätasa-arvon negatiivinen "versio" kertomalla eriarvoisuuden toisella puolella oleva luku −1: llä ja kääntämällä eriarvoisuusmerkki.
Se on paljon toteutettavaa kerralla, joten tässä on esimerkki, joka opastaa sinut vaiheiden läpi.
Ratkaise epätasa-arvox:
| 5 + 5x | - 3> 2
Voit tehdä tämän hankkimalla | 5 + 5x| itsestään eriarvoisuuden vasemmalla puolella. Sinun tarvitsee vain lisätä 3 kummallekin puolelle:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Nyt on kaksi "versiota" eriarvoisuudesta, joka meidän on ratkaistava: positiivinen "versio" ja negatiivinen "versio".
Tässä vaiheessa oletetaan, että asiat ovat sellaisia kuin ne näyttävät: 5 + 5x > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
Tämä on yksinkertainen epätasa-arvo; sinun täytyy vain ratkaistaxkuten tavallista. Vähennä 5 molemmilta puolilta ja jaa sitten molemmat puolet 5: llä.
\ begin {tasattu} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5 - 5 \ quad \ text {(vähennä viisi molemmilta puolilta)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(jaa molemmat puolet viidellä)} \\ & x> 0 \ end {tasattu}
Ei paha! Joten yksi mahdollinen ratkaisu eriarvoisuuteen on sex> 0. Nyt kun on mukana absoluuttisia arvoja, on aika harkita toista mahdollisuutta.
Tämän seuraavan bitin ymmärtäminen auttaa muistamaan, mitä absoluuttinen arvo tarkoittaa.Absoluuttinen arvomittaa luvun etäisyyden nollasta. Etäisyys on aina positiivinen, joten 9 on yhdeksän yksikön päässä nollasta, mutta −9 on myös yhdeksän yksikön päässä nollasta.
Joten | 9 | = 9, mutta | −9 | = 9 samoin.
Palataan nyt yllä olevaan ongelmaan. Yllä oleva työ osoitti, että 5 + 5x| > 5; toisin sanoen "jonkin" absoluuttinen arvo on suurempi kuin viisi. Jokainen yli viisi suurempi positiivinen luku tulee olemaan kauempana nollasta kuin viisi. Joten ensimmäinen vaihtoehto oli "jotain", 5 + 5x, on suurempi kuin 5.
Tuo on:
5 + 5x> 5
Tällainen skenaario on käsitelty edellä, vaiheessa 2.
Ajattele nyt hieman pidemmälle. Mikä muu on viiden yksikön päässä nollasta? No, negatiivinen viisi on. Ja mikä tahansa numero-viivan negatiivisesta viidestä eteenpäin tulee olemaan vielä kauempana nollasta. Joten "jotain" voisi olla negatiivinen luku, joka on kauempana nollasta kuin negatiivinen viisi. Tämä tarkoittaa, että se olisi suurempi kuulostava numero, mutta teknisestivähemmän kuinnegatiivinen viisi, koska se liikkuu negatiivisella suunnalla numerorivillä.
Joten "jotain", 5 + 5x, voi olla pienempi kuin −5.
5 + 5x
Nopea tapa tehdä tämä algebrallisesti on kertoa eriarvoisuuden toisella puolella oleva luku 5 negatiivisella ja kääntää sitten eriarvoisuusmerkki:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
Sitten ratkaise tavalliseen tapaan.
\ begin {tasattu} & 5 + 5x
Joten kaksi mahdollista ratkaisua eriarvoisuuteen ovatx> 0 taix< −2. Tarkista itsesi liittämällä muutama mahdollinen ratkaisu varmistaaksesi, että eriarvoisuus pitää paikkansa.
Absoluuttiset arvoerot ilman ratkaisua
On skenaario, jossa sitä olisiei ratkaisuja absoluuttiseen arvoeroon. Koska absoluuttiset arvot ovat aina positiivisia, ne eivät voi olla yhtä suuria tai pienempiä kuin negatiiviset luvut.
Joten |x| ei ratkaisuakoska absoluuttisen arvon ilmaisun tuloksen on oltava positiivinen.
Intervallimerkintä
Voit kirjoittaa ratkaisun pääesimerkkiinaikavälimerkintä, mieti, miten ratkaisu näyttää numeroriviltä. Ratkaisumme olix> 0 taix< −2. Numerorivillä se on avoin piste nollassa, jossa viiva ulottuu positiiviseen äärettömyyteen, ja avoin piste pisteessä −2, kun viiva ulottuu negatiiviseen äärettömyyteen. Nämä ratkaisut osoittavat poispäin toisistaan, eivät toisiaan kohti, joten ota jokainen kappale erikseen.
Kun x> 0 on numerorivillä, nollassa on avoin piste ja sitten viiva, joka ulottuu äärettömään. Intervallimerkinnöissä avoin piste kuvataan sulkeilla (), ja suljettu piste tai eriarvoisuus ≥ tai ≤ käytettäisi sulkeita []. Jotenx> 0, kirjoita (0, ∞).
Toinen puoli,x
"Tai" aikavälimerkinnöissä on liiton merkki, ∪.
Joten ratkaisu intervallimerkinnöissä on
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)