Kuinka löytää johdannaisia

Yksi tärkeistä laskutoiminnoista on johdannaisten löytäminen. Funktion derivaattia kutsutaan myös kyseisen funktion muutosnopeudeksi. Esimerkiksi, jos x (t) on auton sijainti milloin tahansa t, niin x: n johdannainen, joka on kirjoitettu dx / dt, on auton nopeus. Johdannainen voidaan myös visualisoida funktion kuvaajan tangentin viivan kaltevuutena. Teoreettisella tasolla matemaatikot löytävät näin johdannaisia. Käytännössä matemaatikot käyttävät perussääntöjä ja hakutaulukoita.

Kahden pisteen välisen viivan kaltevuus on y-arvojen nousu tai ero jaettuna juoksulla tai ero x-arvoissa. Funktion y (x) kaltevuus tietylle x-arvolle määritellään olevan linjan kaltevuus, joka on tangentti funktiolle pisteessä [x, y (x)]. Kaltevuuden laskemiseksi muodostat linjan pisteen [x, y (x)] ja läheisen pisteen [x + h, y (x + h)] välille, missä h on hyvin pieni luku. Tälle riville ajo tai muutos x-arvossa on h ja nousu tai muutos y-arvossa on y (x + h) - y (x). Näin ollen y (x): n kaltevuus pisteessä [x, y (x)] on suunnilleen yhtä suuri kuin [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / h. Saadaksesi kaltevuuden tarkasti, lasket kaltevuuden arvon, kun h pienenee ja pienenee, "rajaan", jossa se menee nollaan. Tällä tavoin laskettu kaltevuus on johdannainen y (x): stä, joka kirjoitetaan muodossa y ’(x) tai dy / dx.

Voit käyttää kaltevuus / raja-menetelmää laskemaan funktioiden johdannaiset, joissa y on x x: n a: n teholla tai y (x) = x ^ a. Esimerkiksi, jos y on x kuutioitu, y (x) = x ^ 3, niin dy / dx on raja, kun h menee nollaan arvoon [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. Laajentamalla (x + h) ^ 3 saadaan [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h, joka pienenee 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2: ksi jakamisen jälkeen. kirjoittanut h. Rajalla, kun h menee nollaan, kaikki termit, joissa on h, menevät myös nollaan. Joten, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Voit tehdä tämän arvoille, jotka eivät ole 3, ja yleensä voit osoittaa, että d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

Monet funktiot voidaan kirjoittaa ns. Tehosarjoiksi, jotka ovat loputtoman määrän termien summa missä kukin on muodoltaan C (n) x ^ n, jossa x on muuttuja, n on kokonaisluku ja C (n) on erityinen luku kullekin arvolle n. Esimerkiksi sinifunktion tehosarja on Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., jossa "..." tarkoittaa termejä, jotka jatkuvat äärettömään. Jos tiedät funktion tehosarjan, voit laskea funktion derivaatin tehon x ^ n johdannaisella. Esimerkiksi Sinin (x) derivaatti on yhtä suuri kuin 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +..., joka satunnaisesti on Cos (x): n tehosarja.

Perustoimintojen, kuten x ^ a: n, eksponentiaalisten funktioiden, log-funktioiden ja trig-funktioiden, johdannaiset löytyvät käyttämällä kaltevuus / raja-menetelmää, tehosarjamenetelmää tai muita menetelmiä. Nämä johdannaiset luetellaan sitten taulukoissa. Voit esimerkiksi etsiä, että Sin (x): n johdannainen on Cos (x). Kun monimutkaiset funktiot ovat perustoimintojen yhdistelmiä, tarvitset erityissääntöjä, kuten ketjusääntö ja tuotesääntö, jotka annetaan myös taulukoissa. Esimerkiksi käytät ketjusääntöä saadaksesi selville, että Sinin (x ^ 2) johdannainen on 2xCos (x ^ 2). Tuotesäännön avulla voit selvittää, että xSin (x): n johdannainen on xCos (x) + Sin (x). Taulukoiden ja yksinkertaisten sääntöjen avulla löydät minkä tahansa funktion johdannaisen. Mutta kun toiminto on erittäin monimutkainen, tutkijat käyttävät joskus apua tietokoneohjelmissa.