Kaikki matematiikan opiskelijat ja monet luonnontieteiden opiskelijat kohtaavat polynomeja jossain vaiheessa opintojensa aikana, mutta onneksi niitä on helppo käsitellä, kun opit perusasiat. Tärkeimmät toiminnot, jotka sinun on tehtävä polynomilausekkeiden kanssa, ovat yhteenlaskeminen, vähentäminen, kerrottaminen ja Jako voi olla monimutkainen, mutta useimmiten pystyt käsittelemään perusasiat helppous.
Polynomit: Määritelmä ja esimerkkejä
Polynomi kuvaa algebrallisen lausekkeen, jossa on yksi tai useampi termi, joka sisältää muuttujan (tai useamman kuin yhden), eksponenttien ja mahdollisesti vakioiden kanssa. Ne eivät voi sisältää jakoa muuttujan mukaan, niillä ei voi olla negatiivisia tai murtolukuja ja niillä on oltava rajallinen määrä termejä.
Tässä esimerkissä on esitetty polynomi:
x ^ 3 + 2 x ^ 2 - 9 x - 4
Ja tämä osoittaa toisen:
xy ^ 2 - 3 x + y
Polynomeja voidaan luokitella monella tavalla, mukaan lukien aste (korkeimman tehoasteen eksponenttien summa, esim. 3 ensimmäinen esimerkki) ja niiden sisältämien termien lukumäärällä, kuten monomiaalit (yksi termi), binomiaalit (kaksi termiä) ja trinomiaalit (kolme ehdot).
Polynomien lisääminen ja vähentäminen
Polynomien lisääminen ja vähentäminen riippuu tykkäävien termien yhdistämisestä. Samankaltainen termi on sama, jolla on samat muuttujat ja eksponentit kuin toisella, mutta niiden kerrottu luku (kerroin) voi olla erilainen. Esimerkiksi,x2 ja 4x 2 ovat kuin termejä, koska niillä on sama muuttuja ja eksponentti, ja 2xy 4 ja 6xy 4 ovat samankaltaisia termejä. Kuitenkin,x2, x3, x2y2 jay2 eivät ole kuin termejä, koska kukin sisältää erilaisia muuttujien ja eksponenttien yhdistelmiä.
Lisää polynomeja yhdistämällä samankaltaisia termejä samalla tavalla kuin muiden algebrallisten termien kanssa. Katsokaa esimerkiksi ongelmaa:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + y)
Kerää vastaavat ehdot saadaksesi:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
Arvioi sitten yksinkertaisesti lisäämällä kertoimet yhteen ja yhdistämällä yhdeksi termiksi:
10 x ^ 3 + 5 x + y
Huomaa, että et voi tehdä mitäänykoska sillä ei ole vastaavaa termiä.
Vähennyslasku toimii samalla tavalla:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
Ensin on huomattava, että kaikki oikeanpuoleisen hakasulkeen termit vähennetään vasemmanpuoleisen kannattimen termeistä, joten kirjoita se seuraavasti:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4 - 2 y ^ 2- y
Yhdistä samankaltaiset termit ja arvioi saadaksesi:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
Tällaisen ongelman ratkaisemiseksi:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
Huomaa, että miinusmerkki kohdistetaan oikeaan hakasulkeeseen, joten kaksi negatiivista merkkiä ennen 3x2 tullut lisäysmerkki:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2 - 6 xy + 3 x ^ 2
Laske sitten kuten aiemmin.
Polynomilausekkeiden kertominen
Kerro polynomilausekkeet käyttämällä kertolaskun jakaumaominaisuutta. Lyhyesti sanottuna, kerro jokainen termi ensimmäisessä polynomissa jokaisella termillä toisessa. Katso tätä yksinkertaista esimerkkiä:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
Ratkaiset tämän käyttämällä jakeluominaisuutta, joten:
\ alku {tasattu} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ loppu {tasattu}
Käsittele monimutkaisempia ongelmia samalla tavalla:
\ aloita {tasattu} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 x ^ 2 + 2 x)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ end {tasattu}
Nämä ongelmat voivat mutkistaa suuremmille ryhmille, mutta perusprosessi on silti sama.
Polynomilausekkeiden jakaminen
Polynomilausekkeiden jakaminen vie kauemmin, mutta voit käsitellä sitä vaiheittain. Katso lauseketta:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
Kirjoita ensin lauseke kuten pitkä jako, jakaja vasemmalla ja osinko oikealla:
x + 2) \ yliviiva {x ^ 2 - 3 x - 10}
Jaa osingon ensimmäinen termi jakajan ensimmäisellä termillä ja laita tulos jaon yläpuolelle. Tässä tapauksessa,x2 ÷ x = x, joten:
\ aloita {tasattu} & x \\ x + 2) & \ yliviiva {x ^ 2 - 3 x - 10} \ loppu {tasattu}
Kerro tämä tulos koko jakajalla, joten tässä tapauksessa (x + 2) × x = x2 + 2 x. Laita tämä tulos jaon alle:
\ aloita {tasattu} & x \\ x + 2) & \ yliviiva {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ loppu {tasattu}
Vähennä uuden rivin tulos suoraan sen yläpuolella olevista termeistä (huomaa, että teknisesti muutat merkkiä, joten jos sinulla on negatiivinen tulos, lisää se sen sijaan) ja laita tämä riville sen alapuolelle. Siirrä myös viimeinen termi alkuperäisestä osingosta alas.
\ aloita {tasattu} & x \\ x + 2) & \ yliviiva {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ loppu {tasattu}
Toista nyt prosessi jakajalla ja uudella polynomilla alimmalla rivillä. Jaa siis jakajan ensimmäinen termi (x) osingon ensimmäiselle kaudelle (−5x) ja aseta tämä yllä:
\ aloita {tasattu} & x -5 \\ x + 2) & \ yliviiva {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ loppu {tasattu}
Kerro tämä tulos (−5x ÷ x= −5) alkuperäisen jakajan (so (x + 2) × −5 = −5 x−10) ja laita tulos uudelle pohjalle:
\ Aloita {tasattu} & x -5 \\ x + 2) & \ yliviiva {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ loppu {tasattu}
Vähennä sitten alarivi seuraavasta ylöspäin (joten tässä tapauksessa vaihda merkki ja lisää) ja aseta tulos uudelle alariville:
\ Aloita {tasattu} & x -5 \\ x + 2) & \ yliviiva {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {tasattu}
Koska alareunassa on nyt nollarivi, prosessi on valmis. Jos jäljellä olisi nollasta poikkeavia termejä, toistat prosessin uudelleen. Tulos on ylimmällä rivillä, joten:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
Tämä jako ja jotkut muut voidaan ratkaista yksinkertaisemmin, jos voit tekijä polynomi osinkoon.
