Kuinka ratkaista kuutioyhtälöt

Polynomifunktioiden ratkaiseminen on avaintaito kaikille matematiikkaa tai fysiikkaa opiskeleville, mutta prosessin käsitteleminen - varsinkin kun kyseessä ovat korkeamman asteen funktiot - voi olla varsin haastavaa. Kuution funktio on yksi haastavimmista polynomiyhtälötyypeistä, jotka saatat joutua ratkaisemaan käsin. Vaikka se ei välttämättä ole yhtä suoraviivaista kuin neliöllisen yhtälön ratkaiseminen, on olemassa muutama menetelmä voit etsiä ratkaisun kuutioyhtälöön käyttämättä sivuja ja yksityiskohtaisia ​​sivuja algebra.

Kuution funktio on kolmannen asteen polynomi. Yleisen polynomifunktion muoto on:

Tässä, x on muuttuja, n on yksinkertaisesti mikä tahansa luku (ja polynomin aste), k on vakio ja muut kirjaimet ovat vakiokertoimia kullekin x. Joten kuutiofunktio on n = 3 ja on yksinkertaisesti:

Jos tässä tapauksessa d on vakio. Yleensä kun sinun on ratkaistava kuutioyhtälö, sinulle esitetään se muodossa:

Jokainen ratkaisu x kutsutaan yhtälön "juureksi". Kuutioyhtälöillä on joko yksi todellinen juuri tai kolme, vaikka ne voidaan toistaa, mutta aina on ainakin yksi ratkaisu.

Yhtälötyypin määrittelee suurin voima, joten yllä olevassa esimerkissä se ei olisi kuutioyhtälö, jos a = 0, koska korkein valtaehto olisi bx² ja se olisi asteen yhtälö. Tämä tarkoittaa, että seuraavat ovat kaikki kuutioyhtälöitä:

Helpoin tapa ratkaista kuutioyhtälö sisältää vähän arvauksia ja algoritmityypin prosessin, jota kutsutaan synteettiseksi jaoksi. Alku on kuitenkin periaatteessa sama kuin kokeiluversiomenetelmä kuutioyhtälöratkaisuille. Yritä selvittää mikä juurista on arvaamalla. Jos sinulla on yhtälö, jossa ensimmäinen kerroin, a, on yhtä kuin 1, sitten on hieman helpompi arvata yksi juurista, koska ne ovat aina vakiotermin tekijöitä, joita yllä d.

Joten tarkastelemalla esimerkiksi seuraavaa yhtälöä:

Sinun täytyy arvata yksi arvoista x, mutta siitä lähtien a = 1 tässä tapauksessa tiedät, että mikä tahansa arvo on, sen on oltava kerroin 24. Ensimmäinen tällainen tekijä on 1, mutta tämä jättää:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

Mikä ei ole nolla, ja −1 jättää:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

Mikä ei taas ole nolla. Seuraava, x = 2 antaisi:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

Toinen epäonnistuminen. Yritetään x = −2 antaa:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

Tämä tarkoittaa x = −2 on kuutioyhtälön juuri. Tämä osoittaa kokeiluverhomenetelmän edut ja haitat: Voit saada vastauksen ilman paljon ajatus, mutta se on aikaa vievää (varsinkin jos sinun on mentävä korkeammiin tekijöihin ennen juuren löytämistä). Onneksi, kun olet löytänyt yhden juuren, voit ratkaista loput yhtälöstä helposti.

Avain sisältää tekijälauseen. Siinä todetaan, että jos x = s on ratkaisu, sitten (x – s) on tekijä, joka voidaan vetää yhtälöstä. Tässä tilanteessa s = −2 ja niin (x + 2) on tekijä, jonka voimme vetää lähtemään:

Toisen sulueryhmän termeillä on neliöllinen yhtälö, joten jos löydät sopivat arvot a ja b, yhtälö voidaan ratkaista.

Tämä voidaan saavuttaa käyttämällä synteettistä jakoa. Kirjoita ensin alkuperäisen yhtälön kertoimet taulukon ylimmälle riville jakoviivalla ja sitten oikealla olevalla tunnetulla juurella:

Jätä yksi vararivi ja lisää vaakasuora viiva sen alle. Ota ensin ensimmäinen numero (tässä tapauksessa 1) vaakasuoran viivan alapuolelle

Kerro nyt juuri tuomasi numero tunnetulla juurella. Tässä tapauksessa 1 × −2 = −2, ja tämä kirjoitetaan luettelon seuraavan numeron alle seuraavasti:

Lisää sitten numerot toiseen sarakkeeseen ja laita tulos vaakasuoran viivan alle:

Toista nyt käymäsi prosessi uudella numerolla vaakasuoran viivan alapuolella: Kerro root, laita vastaus seuraavan sarakkeen tyhjään tilaan ja lisää sitten sarake saadaksesi uuden numeron alimmainen rivi. Tämä jättää:

Ja sitten käy läpi prosessi viimeisen kerran.

Se, että viimeinen vastaus on nolla, kertoo sinulle, että sinulla on kelvollinen juuri, joten jos tämä ei ole nolla, olet tehnyt virheen jossain.

Alarivi kertoo nyt toisen suluissa olevien kolmen termin tekijät, joten voit kirjoittaa:

Ja niin:

Tämä on ratkaisun tärkein vaihe, ja voit lopettaa tästä eteenpäin monin tavoin.

Kun olet poistanut tekijän, voit löytää ratkaisun factoringin avulla. Edellä olevasta vaiheesta lähtien tämä on pohjimmiltaan sama ongelma kuin neliöllisen yhtälön huomioon ottaminen, mikä voi olla haastavaa joissakin tapauksissa. Lausekkeelle:

Jos muistat, että suluissa lisäämäsi kaksi numeroa on lisättävä toisen kertoimen (7) saamiseksi ja kertomalla kolmanneksi (12), on melko helppo nähdä, että tässä tapauksessa:

Voit kertoa tämän tarkistamalla, jos haluat. Älä lannistu, jos et näe jakoa heti; se vie vähän harjoittelua. Tämä jättää alkuperäisen yhtälön seuraavasti:

Missä näet heti, on ratkaisuja x = −2, 3 ja 4 (jotka kaikki ovat tekijöitä 24, alkuperäinen vakio). Teoriassa voi myös olla mahdollista nähdä koko tekijä alkaen yhtälön alkuperäisestä versiosta, mutta tämä on paljon haastavampaa, joten on parempi löytää yksi ratkaisu kokeiluversiosta ja käyttää yllä olevaa lähestymistapaa ennen kuin yrität löytää a tekijä.

Jos etsit tekijöitä, voit käyttää asteen yhtälökaavaa:

Löydä jäljellä olevat ratkaisut.

Vaikka se on paljon suurempi ja vähemmän helppo käsitellä, on olemassa yksinkertainen kuutioyhtälön ratkaisija kuutiokaavan muodossa. Tämä on kuin neliöllinen yhtälökaava, jossa syötät vain arvosi a, b, c ja d ratkaisun saamiseksi, mutta se on vain paljon pidempi.

Siinä todetaan seuraavaa:

missä

ja

Tämän kaavan käyttäminen on aikaa vievää, mutta jos et halua käyttää kokeilu- ja virhemenetelmää kuutioyhtälöratkaisuissa ja sitten neliöllistä kaavaa, tämä toimii, kun käydään läpi kaikki.