Jokaisen korkeammalla tasolla olevan algebran opiskelijan on opittava ratkaisemaan toisen asteen yhtälöt. Nämä ovat eräänlainen polynomiyhtälö, joka sisältää voiman 2, mutta ei suurempaa, ja niillä on yleinen muoto:kirves2 + bx + c= 0. Voit ratkaista nämä käyttämällä asteikon yhtälökaavaa, jakamalla tai täyttämällä neliö.
TL; DR (liian pitkä; Ei lukenut)
Etsikää ensin kerroin yhtälön ratkaisemiseksi. Jos ei ole yhtä, muttabkerroin on jaollinen 2: lla, täydennä neliö. Jos kumpikaan lähestymistapa ei ole helppo, käytä asteen yhtälökaavaa.
Faktoinnin käyttö yhtälön ratkaisemiseksi
Faktorisaatiossa hyödynnetään sitä tosiasiaa, että normaalin neliöyhtälön oikea puoli on nolla. Tämä tarkoittaa sitä, että jos voit jakaa yhtälön kahteen termiin sulkeissa kerrottuna toisiinsa, voit selvittää ratkaisut miettimällä, mikä tekisi jokaisesta sulkeesta nollan. Annetaan konkreettinen esimerkki:
x ^ 2 + 6x + 9 = 0
Vertaa tätä vakiolomakkeeseen:
ax ^ 2 + bx + c = 0
Esimerkissäa = 1, b= 6 jac= 9. Kertoimen haasteena on löytää kaksi numeroa, jotka lasketaan yhteen antamaan numero
Joten, edustaa numeroitadjae, etsit numeroita, jotka täyttävät:
d + e = b
Tai tässä tapauksessab = 6:
d + e = 6
Ja
d × e = c
Tai tässä tapauksessac = 9:
d × e = 9
Keskity etsimään lukuja, jotka ovat tekijöitäcja lisää ne sitten yhteen tarkistaaksesi, ovatko ne yhtä suuriab. Kun sinulla on numerosi, laita ne seuraavaan muotoon:
(x + d) (x + e)
Yllä olevassa esimerkissä molemmatdjaeovat 3:
x ^ 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Jos kerrot suluista, päädyt taas alkuperäiseen lausekkeeseen, ja tämä on hyvä tapa tarkistaa tekijäsi. Voit suorittaa tämän prosessin läpi (kertomalla sulkujen ensimmäinen, sisempi, ulompi ja sitten viimeinen osa vuorotellen - katso lisätietoja Resursseista) nähdäksesi sen päinvastoin:
\ aloita {tasattu} (x + 3) (x + 3) & = (x × x) + (3 × x) + (x × 3) + (3 × 3) \\ & = x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\ & = x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ end {tasattu}
Faktorisaatio kulkee tämän prosessin tehokkaasti päinvastaisessa järjestyksessä, mutta sen laatiminen voi olla haastavaa oikea tapa laskea neliöllinen yhtälö, ja tämä menetelmä ei ole ihanteellinen jokaiselle neliöyhtälölle tätä varten syy. Usein joudut arvailemaan jakoa ja tarkistamaan sen sitten.
Ongelmana on, että jompikumpi sulkeissa olevista lausekkeista tulee nollaksi valitsemallesi arvollex. Jos jompikumpi sulku on nolla, koko yhtälö on nolla, ja olet löytänyt ratkaisun. Katso viimeinen vaihe [(x + 3) (x+ 3) = 0] ja huomaat, että sulkujen nollataso on ainoa kerta, josx= −3. Useimmissa tapauksissa neliöyhtälöillä on kuitenkin kaksi ratkaisua.
Factorization on vielä haastavampaa, josaei ole yhtä kuin yksi, mutta keskittyminen yksinkertaisiin tapauksiin on aluksi parempi.
Neliön loppuun saattaminen yhtälön ratkaisemiseksi
Neliön täydentäminen auttaa ratkaisemaan toisen asteen yhtälöt, joita ei voida helposti jaotella. Tämä menetelmä voi toimia minkä tahansa asteen yhtälön kanssa, mutta jotkut yhtälöt sopivat siihen paremmin kuin toiset. Lähestymistapa käsittää lausekkeen tekemisen täydelliseksi neliöksi ja sen ratkaisemiseksi. Yleinen täydellinen neliö laajenee näin:
(x + d) ^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2
Jos haluat ratkaista neliöllisen yhtälön täyttämällä neliön, vie lauseke yllä olevan oikean puolen muotoon. Jaa ensin numerobasento 2: lla ja neliö sitten tulos. Joten yhtälölle:
x ^ 2 + 8x = 0
Kerroinb= 8, niinb÷ 2 = 4 ja (b ÷ 2)2 = 16.
Lisää tämä molemmille puolille saadaksesi:
x ^ 2 + 8x + 16 = 16
Huomaa, että tämä lomake vastaa täydellistä neliömuotoa, kanssad= 4, joten 2d= 8 jad2 = 16. Se tarkoittaa, että:
x ^ 2 + 8x + 16 = (x + 4) ^ 2
Lisää tämä edelliseen yhtälöön saadaksesi:
(x + 4) ^ 2 = 16
Ratkaise nyt yhtälöx. Ota molempien sivujen neliöjuuri saadaksesi:
x + 4 = \ sqrt {16}
Vähennä 4 molemmilta puolilta saadaksesi:
x = \ sqrt {16} - 4
Juuret voivat olla positiivisia tai negatiivisia, ja negatiivisen juuren ottaminen antaa:
x = -4-4 = -8
Etsi toinen positiivisen juuren oma ratkaisu:
x = 4-4 = 0
Siksi ainoa nollasta poikkeava ratkaisu on −8. Tarkista tämä alkuperäisellä lausekkeella vahvistaaksesi.
Neliöllisen kaavan käyttäminen yhtälön ratkaisemiseksi
Neliöyhtälökaava näyttää monimutkaisemmalta kuin muut menetelmät, mutta se on luotettavin menetelmä, ja voit käyttää sitä missä tahansa neliöyhtälössä. Yhtälö käyttää standardin toisen asteen yhtälön symboleja:
ax ^ 2 + bx + c = 0
Ja toteaa, että:
x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Lisää sopivat numerot heidän paikkoihinsa ja selvitä kaava läpi ratkaistaksesi, muista yrittää sekä vähentää että lisätä neliöjuuretermi ja merkitä molemmat vastaukset. Seuraava esimerkki:
x ^ 2 + 6x + 5 = 0
Sinulla ona = 1, b= 6 jac= 5. Joten kaava antaa:
\ begin {tasattu} x & = \ frac {-6 ± \ sqrt {6 ^ 2 - 4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {36-20} } {2} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ frac {-6 ± 4} {2} \ loppu {tasattu}
Positiivisen merkin ottaminen antaa:
\ begin {tasattu} x & = \ frac {-6 + 4} {2} \\ & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {tasattu}
Negatiivisen merkin ottaminen antaa:
\ begin {tasattu} x & = \ frac {-6 - 4} {2} \\ & = \ frac {-10} {2} \\ & = -5 \ end {tasattu}
Mitkä ovat yhtälön kaksi ratkaisua.
Kuinka määrittää paras tapa ratkaista neliöllisiä yhtälöitä
Etsi tekijä ennen kuin yrität mitään muuta. Jos pystyt havaitsemaan yhden, tämä on nopein ja helpoin tapa ratkaista toisen asteen yhtälö. Muista, että etsit kahta numeroa, jotka summaavatbkerroin ja kerro saadaksesickerroin. Tälle yhtälölle:
x ^ 2 + 5x + 6 = 0
Voit havaita, että 2 + 3 = 5 ja 2 × 3 = 6, joten:
x ^ 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
Jax= −2 taix = −3.
Jos et näe jakoa, tarkista onkobkerroin on jaollinen 2: lla turvautumatta murtolukuihin. Jos on, neliön täyttäminen on luultavasti helpoin tapa ratkaista yhtälö.
Jos kumpikaan lähestymistapa ei näytä sopivalta, käytä kaavaa. Tämä näyttää vaikeimmalta lähestymistavalta, mutta jos olet tentissä tai muuten työnnät aikaa, se voi tehdä prosessista paljon vähemmän stressaavaa ja paljon nopeampaa.